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André Roussin  
 
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Aplicaciones de las funciones reales

    Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en bolívares para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función “x” como el precio y la cantidad de producto como “y”. Un médico “x” atiende a un paciente, esto se puede materializar utilizando una línea que una el punto que corresponde al médico y el conjunto de pacientes atendidos que es “y”.

FUNCIÓN AFÍN

    Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda lineal.

    Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. El resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información es que el tiempo de reacción de una persona R, en milisegundos, es estadísticamente función lineal del tamaño del conjunto de memoria N en los siguientes términos R = 38N + 397.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

    El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

    Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.

    Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Por ejemplo, el análisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron con una dieta que contenía cierto porcentaje de proteína. La proteína consistió en yema de huevos y harina de maíz. Al variar el porcentaje P de yema en la mezcla de proteína, el grupo de investigadores estimó el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante un cierto periodo fue F(p) en donde: F(p)= 1/50p2 + 2p + 20, 0£P£100

    Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

     La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, localizado a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

    Los astrónomos utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuación: M= -(5/2)Log (B/B0), donde B es la brillantez y B0 es una constante. Se concluye que la magnitud (M) está dada en función de una ecuación logarítmica.

     En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen “L” en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

     Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. Si N es la cantidad al tiempo, entonces se puede demostrar que : N = N0 e -lt , donde N0 y l son las constantes positivas de decrecimiento al tiempo requerido para que se produzca a la mitad la cantidad inicial del elemento que se denomina semi-vida. Observe que N implica una función exponencial. Además se dice que N sigue la ley exponencial de decrecimiento, si t=0 entonces N= N0e -l(0) = N0e0 = N01 = N0, así la constante N0 representa la cantidad de elemento que esta presente al tiempo t=0 y la constantel depende del elemento particular implicado y se llama constante de decrecimiento o de decaimiento. En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log [H+], donde [H+] es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la “lluvia ácida” que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

    Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo ) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.

    El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).

    En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución, si N es la cantidad de fármaco presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N0 e-kt, en donde k es una constante positiva y N0 es la cantidad presente al tiempo t= 0.

    En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la rata de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.). En la relación anterior la base de la función exponencial es (1+i), donde la cantidad i es la rata que es mayor que cero (i>0) y n es el tiempo transcurrido en año, meses o días. n es una cantidad real positiva (n Î R+).

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

    Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.

     En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada ves más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

    En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. Se ha determinado que el rayo de salida es paralelo al de entrada, se puede determinar mediante la fórmula b= tg-1 (tga - seca), donde t es el espesor de la placa, a es el ángulo de incidencia y b es el ángulo de refracción.

    En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo b y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

    El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

    La terminología asociada a las funciones se debe al matemático alemán J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido”. Si H es la semi-vida de tal medicamento, entonces H= (ln2)/k.

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Miércoles, 22 / 10 / 2014
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