www.matematicas.net

LO DIJO...

Proverbio chino  
 
Lo que oyes lo olvidas, lo que ves lo recuerdas, lo que haces lo aprendes.
 
www.matematicas.net - Historia ~ El siglo XVIII
.: Historia :.
 
El siglo XVIII

La ilustración

    El hombre primitivo vivía atemorizado y amedrentado ante los hechos naturales debido a que no podía explicárselos. El mito y la magia dominaban su pensamiento. Posteriormente y en forma gradual, empezó a comprender la naturaleza y aprendió a disfrutar de ella.

    Los historiadores sitúan en el siglo XVIII la época en la que dicha comprensión empezó a afectar la cultura occidental y la llamaron ilustración, entendiéndose esta palabra, de acuerdo con su sentido etimológico, como iluminación, referida a la luz de la razón con la cual los ilustrados aspiraban a regenerar el mundo.

    A pesar de que los ilustrados no se preocupaban generalmente de la metafísica, sino que lo hacían por los problemas de la conducta humana, se hacían llamar filósofos; pero en sentido más restringido han sido llamados enciclopedistas por que sus ideales están condensados en la Enciclopedia, publicada en Francia en 1751.

    Dichas ideas se pueden resumir de la forma siguiente:

    En religión osciló entre un cristianismo reformista y el ateísmo.

    Como grado intermedio el deísmo. En el aspecto económico tenía un sello característico: "todo para el pueblo, pero sin el pueblo". Entre las reformas contaban en primer lugar al racionalización del estado y la sociedad.

    Su pensamiento social no era revolucionario; para reconciliar la burguesía con la nobleza comprendían la necesidad de reducir los privilegios del clero y la nobleza, pero por caminos ordenados y pacíficos.

    El pensamiento económico no era homogéneo; en los comienzos del siglo predominaba la teoría mercantilista, favorable a la reglamentación y el intervencionismo del estado, pero a mediados del siglo surge en Francia la tendencia partidaria de mayor libertad económica, que veía la riqueza fundamental de las naciones en la agricultura. En Inglaterra aparecen dos obras que tendrían gran resonancia : El Tratado Sobre la Riqueza de las Naciones, de Adam Smith, en el cual expone la teoría del liberalismo económico que habría de triunfar en el siglo XIX, y el tratado de la Población, de Malthus, en el que expone que la población tenia tendencia a crecer en población geométrica, mientras que los recursos alimenticios solo crecían en progresión aritmética, por lo tanto, la humanidad estaba amenazada por un hambre general si no se instauraba una limitación de los alimentos.

    Otro rasgo característico de este siglo es su cosmopolismo:

    Una cierta unidad de ideales, de costumbres y hasta de lenguaje; el predominio del francés se extendió por toda la Europa culta, desde España hasta Rusia.

    En aquella Europa, Inglaterra tenía una posición especial por su progreso económico, su hegemonía y su peculiar régimen político parlamentario.

    Su avance económico se debió a un gran perfeccionamiento de las técnicas agro ganaderas, a su rápido incremento de la población, a su expansión colonial y, sobre todo, a una temprana industrialización basada en el aprovechamiento de la hulla, tan abundante en Gran Bretaña. Allí fue donde, por primera vez, fue utilizada la fuera expansiva del vapor de agua, que con la invención de ingenios mecánicos, Inglaterra se asegura la hegemonía en dos sectores: el metalúrgico y el textil.

    A finales del siglo XVIII, a causa de la sustitución de la influencia de la nobleza por la de la burguesía, del aumento de la población -lo que produce un aumento de la mano de obra y la disminución del nivel de vida- y la influencia de los pensadores franceses Montesquieu, Voltaire y Rousseau, se iniciará una era de revoluciones que finalizará en 1850.

    En 1783 se firma el Tratado de Versalles, en el que Inglaterra reconoce la independencia de los EE.UU. y en 1793 es guillotinado en rey de Francia Luis XVI.

Progresos científicos.

    El conocimiento científico se desarrollo extraordinariamente durante este siglo.

    La química moderna se inicia con los trabajos del francés Antoine Laurent Lavosier (1743 - 1795), quien destierra el confusionismo existente en esta rama del saber y enuncia la ley de conservación de la materia. El alemán J.B. Richter (1762 - 1807) enuncia la ley que lleva su nombre y contribuye en gran manera al progreso de las química, así como al de las ciencias.

    El Francés Charles de Coulomb (1736 - 1806) inventó la balanza de torsión para medir las fuerzas de magnetismo y electricidad. Estableció la ley que lleva su nombre, según la cual la atracción o repulsión de dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de cantidad des de electricidad e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. En su honor, la unidad de carga eléctrica lleva el nombre de Coulomb.

    En 1714, el alemán G. Fahrenheit (1668 - 1736) construye el primer termómetro fiable.

    En 1742, el sueco Anders Celsius (1728 - 1799) ideo la escala termométrica que lleva su nombre,

    El escocés Joseph Black (1728 -1799) descubrió que cada materia tiene un calor especifico e invento métodos para medir el calor latente.

    A fines del siglo, el italiano Alesandro Volta (1745 - 1827) construyo la primera pila eléctrica. En su honor se llama voltio a la unidad de potencial eléctrico.

    En medicina el progreso más significativo se debe al ingles Edward Jenner (1749 -1823), quien inyectó por primera vez, en 1796, una vacuna (del latín vaccunus = vaca) contra la viruela.

En Biología, se continua en la investigación de la estructura de las plantas y animales.

    En la segunda mitad del siglo XVIII, el astrónomo ingles de origen alemán F.G. Herschel (1738 -1822) utilizando telescopios perfeccionados descubrió la unidad de los miles de millones de estrellas que forman nuestra galaxia, esto es inicio el conocimiento de las galaxias. Esto representó un avance prodigioso, pues la teoría heliocéntrica quedaba confirmada como verdadera, pero solo en lo concerniente a nuestro sistema solar.

La matemática ilustrada

    El periodo que va desde el año 1707, fecha en que nació el matemático suizo Leonard Euler, hasta el año 1804, fecha de la coronación de Napoleón Bonaparte como emperador de Francia, se denomina periodo de Matemática ilustrada.

    Los matemáticos de este periodo continuaran explorando los mismos campos de los que se habían ocupado los grandes innovadores del siglo XVII. Proseguirán, en gran parte, basándose en la intuición y el sentido común, Euler creara multitud de aplicaciones para el calculo y los matemáticos franceses Lagrange y Laplace elaboraran, a través del cálculo, teorías comprensivas de la mecánica ordinaria y celeste, creando una sólida base para la astronomía y la ingeniería modernas.

    A pesar de estos éxitos, aparecerá un cierto pesimismo, sobre todo a finales del siglo XVIII, en el pensamiento matemático. Este pesimismo queda bien explicitado por Lagrange en una carta dirigida a su amigo D’Alambert, en 1781, en donde expresa su opinión de que las matemáticas se estaban ahondando demasiado, con el peligro de ser destruidas. D’Alambert, en cambio, exhorta a sus alumnos: "Seguid adelante y la fe vendrá a vosotros".

    Por estar fechas, los matemáticos franceses, más relacionados con la iglesia y con el ejercito que con la universidad, serán los responsables de las líneas del desarrollo de las matemáticas del siglo siguiente. En efecto, ellos estarán implicados en todos los progresos matemáticos ente el siglo XVIII y principios del siglo XIX, que fueron: el establecimiento del sistema métrico decimal, el desarrollo del álgebra, de la geometría analítica, de la teoría de ecuaciones diferenciales, del cálculo infinitesimal, del calculo de probabilidades, del calculo de variaciones y la fundamentación de la geometría descriptiva.

Progresos notacionales.

    Nuestro sistema notacional se deba más a Euler que a ningún otro matemático. En efecto, no sólo introdujo en símbolo "i" para denotar , sino que propugno el uso de la letra griega S en el cálculo, como símbolo de la suma de un numero infinito de rectángulos y como aproximación al área limitada por una curva. También utiliza exponentes imaginarios, escribe las funciones trascendentes elementales, las trigonométricas, ciclometricas, logarítmicas y exponenciales, así como las notaciones abreviadas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante y cotangente, prácticamente como las que utilizamos hoy, y además, la expresión la representa , que es casi idéntica a la expresión utilizada actualmente, que es .

    Utiliza por primera vez la notación "e", base de los logaritmos neperianos, al parecer sugerido por la primera letra de la palabra "exponencial", y universaliza el signo actual P , que había sigo generalizado en Inglaterra.

    Las notaciones que empleamos para las derivadas sucesivas se las debemos a Lagrange.

    Laplace utiliza el operador que hoy conocemos con su nombre, esto es, que es importantisimo en la Matemática - Física

    Durante el siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casi exclusivamente en Europa. Gradualmente fue creciendo el papel de los centros superiores de enseñanza, haciéndose particularmente notable hacia finales de siglo con la revolución francesa.

    Se podría decir que el siglo XVIII fue un tramite entre los siglos XVII, cuando se inventaron la geometría analítica y el cálculo infinitesimal y el siglo XIX, origen del rigor matemático y espectador de lujo del brillante florecimiento de la geometría.

    Los matemáticos más importantes de la época fueron casi todos franceses: Monge, Lagrange, D'Alembert, Laplace, legendre, Carnot y Condorcet. las dos grandísimas excepciones a esta lista fueron Euler y Gauss.

    El concepto de análisis infinitesimal se completó de nuevos hechos, encontrando las operaciones de diferenciación e integración aplicaciones a una cada vez mayor gama de funciones, dando lugar al análisis funcional y dentro de él, al cálculo de variaciones como una de las partes más importantes del análisis matemático moderno.

    Comentar, por último, que una revisión del desarrollo de las matemáticas en el siglo XVIII sería incompleta sin nombrar los trabajos teóricos realizados en el terreno de la probabilidad.

    La elaboración científica de los problemas matemáticos se concentró casi exclusivamente en los países de Europa.

    Junto a la formación de los fundamentos del análisis matemático -el cálculo diferencial e integral- hacia comienzos de siglo surgieron resultados también en sus ramas superiores: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones. La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias obtuvo un desarrollo sistemático, comenzando con los trabajos de Jo. Bernoulli y J. Ricatti. Los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con la aparición de los logaritmos. Sobre la base de la ampliación del concepto de función al campo complejo y de la amplia aplicación del desarrollo de funciones en serie, comenzó a crearse la teoría de funciones de variable compleja. Se completó igualmente, el conjunto de las disciplinas geométricas y, además de la ya desarrollada geometría analítica, se formaba a finales de siglo la geometría descriptiva y se profundizaba en el estudio de la perspectiva.

Análisis infinitesimal

    El problema de la creación de la teoría de funciones se convirtió en el problema preliminar del análisis infinitesimal. El concepto de función tenía dos aspectos: la función como correspondencia y la función como expresión analítica. Los éxitos prácticos del análisis infinitesimal, impulsaron a los científicos a poner más atención a este tratamiento del concepto de función, el cual permitía operar con funciones concretas. Fue en el transcurso de los años 30 y 40, en lo fundamental gracias a Euler, cuando se elaboró, sistematizó y clasificó la teoría de las funciones elementales analíticas. La experiencia señaló a los matemáticos que todas las funciones conocidas, eran desarrollables mediante series de potencias. Igualmente se crearon las premisas para la teoría de funciones de variable compleja.

    Uno de los rasgos más característicos del análisis infinitesimal en el siglo XVIII era la poca claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad de explicar racionalmente la validez de las operaciones introducidas. Las ideas de los creadores del análisis en esta materia no se distinguían ni por su constancia ni por su determinación. Tanto Newton como Leibniz llevaron a cabo un conjunto de intentos de explicar sus cálculos, sin lograr éxito. Entre los numerosos esfuerzos por encontrar una fundamentación rigurosa al análisis infinitesimal, destacan los de Euler y D'Alembert. Según Euler, el concepto fundamental no es el de diferencial, sino el de derivada; en lo que se refiere a los infinitesimales o diferenciales, ellos son simplemente ceros exactos. Pero esta teoría de Euler no pudo ser reconocida como satisfactoria pues se limitaba a enmascarar los pasos reales al límite, los cuales prácticamente se llevaban a cabo en la diferenciación de funciones. D'Alembert por su parte, ponía objeciones a la teoría de los ceros de Eules y sostenía que la notación de los diferenciales no es más que una manera vaga de hablar, que depende para su justificación del lenguaje de los límites. Sin embargo, la teoría de los límites del siglo XVIII, no obtuvo el reconocimiento de la mayoría de sus contemporáneos. El trabajo más serio que reveló la posibilidad total del cálculo diferencial algebraico y que determinó su destino fue el gran trabajo de Lagrange, "Teoría de las funciones analíticas...". Demostró que toda función y=f(x+h) puede ser desarrollada en serie de potencias en la forma f(x+h)=f(x)+ph+qh2+rh3... excepto en determinados valores del argumento. Las series de potencias fueron pues, utilizadas para la aproximación de cualquier función por polinomios. Además dedujo la fórmula del resto y el teorema del valor medio. Los coeficientes del desarrollo polinómico fueron definidos por Lagrange como derivadas sucesivas. Pero siguió sin resolver el concepto de límite y las operaciones con series carecían de fundamento, al realizarse sin el estudio de la convergencia de la serie. Semejantes dificultades existieron durante mucho tiempo, hasta que a finales del siglo XIX fue creado el "aparato delta, epsilon" de la teoría de límites.

Análisis matemático

    La riqueza real del análisis acumulada durante el siglo XVIII es tremenda. Veamos algunas de sus particularidades.

Cálculo Diferencial

    El cálculo diferencial conservó una estrecha relación con el cálculo de diferencias finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de las serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.

Por ejemplo Euler demostró que en df(x,y)=Pdx+Qdy las derivadas parciales deben satisfacer la condición

Cálculo Integral

    Los logros en este terreno pertenecieron inicialmente a J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Entre ellas citaremos las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. También se desarrolló el método de las sustituciones complejas.

Ecuaciones Diferenciales

    La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se había desarrollado ya considerablemente antes de esta época, pero el problema más difícil de la resolución de ecuaciones en derivadas parciales era entonces un campo abierto para los pioneros. El problema de la integración de ecuaciones diferenciales, en su inicio, se presentaba como parte de un problema más general: el problema inverso del análisis infinitesimal. Además cada una de las ecuaciones estaba justificada por la existencia de un problema concreto, no existiendo a principios de siglo una teoría general, con lo que la vía utilizada, fue la de resolver clases de ecuaciones lo más amplias posibles. Los primeros intentos de resolución se centraron en las ecuaciones diferenciales lineales, advirtiéndose resultados notables ya en los años 20 con los trabajos de Ricatti, Golbach, Bernoulli y Leibniz. En el año 1743 Euler publicó el método de resolución de una ecuación diferencial lineal homogéneo de cualquier orden, mediante la sustitución y=ekx o similares. D'Alembert encontró en 1766 que la solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Junto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, fueron encontradas las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales, llevadas a cabo especialmente por Euler y D'Alembert. Así, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden surgieron preferentemente en el curso de resolución de problemas físicos, entre los que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a la ecuación: resuelta por Euler. Fue a finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales. El estudio de estas familias de curvas integrales y la solución de problemas sobre la búsqueda de trayectorias envolventes e isogonales dio lugar a la aparición de una nueva rama dentro de la geometría: la geometría diferencial.

    En resumen, el aparato del análisis matemático en el transcurso del siglo XVIII se desarrolló con rapidez extraordinaria tomando una forma y un volumen próximo al actual. La diferenciación y también la integración mediante funciones elementales fueron, en lo fundamental concluidas. Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como en derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una parte importantísima del análisis matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo. Junto a la elaboración de los métodos de resolución de clases independientes de ecuaciones se formaron los elementos de la teoría general.

Cálculo de variaciones

    El cálculo de variaciones surgido en este siglo, recibió en los trabajos de Euler y Lagrange la forma de una teoría matemática rigurosa, posibilitando la resolución de un gran número de problemas de carácter práctico, referidos a la determinación de los extremos de las funciones y que no admitían resolución con los medios del recientemente aparecido análisis infinitesimal. Entre estos problemas citaremos el de la braquistócrona, el problema isoperimétrico o el de las líneas geodésicas sobre las superficies.

    El primer método general de resolución de problemas de variaciones, fue elaborado en una serie de trabajos de Euler durante los años 1726 a 1744, presentando la primera formulación general de un problema de variaciones unidimensionales en 1735. Cuatro años después, este método fue generalizado, publicando ya en 1744, el que podríamos considerar como primer libro de la historia sobre cálculo de variaciones. En el libro de Euler se citan más de 60 ejemplos que ilustran las posibilidades del nuevo método. En ellos se demuestra el valor práctico del cálculo y se establece su estrecha relación con la mecánica y la física. El objetivo de este método general era la búsqueda de líneas curvas para las cuales cierta magnitud prefijable, alcanza su valor máximo o mínimo. Pese a la practicidad del método, éste adolecía de cierta falta de rigor sobre todo en cuestiones relacionadas con los pasos al límite.

    La situación cambió como consecuencia de la puesta en común de ideas por parte de Euler y Lagrange, al comunicar éste último, el método general analítico de cálculo de la variación de la integral, mediante la integración por partes. Este método se basaba en la introducción de la variación de una función y en la extensión a las variaciones de las reglas del cálculo diferencial. Lagrange fue, además, el primero en señalar la posibilidad de utilizar la segunda variación para diferenciar el tipo de extremal encontrado. Con posterioridad esta posibilidad fue convertida en condición por Legendre y K. Jacobi (s. XIX) y reafirmada por Weierstrass en 1879

Desarrollo de la geometría

    Prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, excluyendo sólo las geometrías no euclideanas, se formaron en este siglo. Se trata de las geometrías analítica, diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas.

Geometría Analítica

    Bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas.

    Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes.

Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.

    En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.

Geometría diferencial

    Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del cálculo diferencial.

    A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler. El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable. A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático.

Geometría descriptiva y proyectiva

    Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.

    El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabajos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría

Análisis numérico

    La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) se determinó ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "Aritmética Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el desarrollo de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el libro con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene las fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica, fórmulas conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparece también un teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.

    Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías, especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones, elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.

    En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya estaba ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas de resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión de las funciones racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y negativos de una potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones, las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas.

    Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la resolución de tales ecuaciones. También se profundizó en el concepto de número, produciéndose de una manera definitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó en las reglas de operaciones con números imaginarios y complejos, pero siempre bajo la premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.

    Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo m.
No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría de las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución de problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturales y también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fue tratado también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se estudia el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto a Euler los nombres de Waring y Lagrange.

    La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente, sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros, definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones

Teoría de probabilidades

    La teoría de probabilidades debe más a Laplace que a ningún otro matemático. Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra "Teoría Analítica de las Probabilidades" publicada en 1812. Sin embargo el primero de los resultados teóricos en esta rama fue, al parecer, la demostración realizada por Moivre en 1730 del teorema local del límite central.

    El problema del cálculo de probabilidades sobre la base de observaciones en diferentes aspectos, también fue tratado por D.Bernoulli, Euler, Simpson y Condorcet, siendo uno de los resultados más importantes las fórmulas de Bayes publicadas en 1764. Junto a esto Legendre, Laplace y Gauss elaboraron el método de mínimos cuadrados.

    Todo el aparato matemático que permitió desarrollar la teoría de probabilidades está extraído del análisis combinatorio, disciplina iniciada por Leibniz y Ja. Bernoulli. Posteriormente se introdujo la teoría de límites disminuyendo el peso específico de los métodos combinatorios.

Historia
   Definición: f. Narración y exposición de los acontecimientos pasados y dignos de memoria, sean públicos o privados.
  En pocas palabras, historia de las matemáticas, biografías, galería de genios, etc.

Índice Matemática
Siglos XVII - XVIII

Introducción

Europa en los
siglos XVII y XVIII

El racionalismo
del siglo XVII

La invención del
cálculo infinitesimal

El siglo XVIII

Arte y Arquitectura
del Barroco

Ciencias

Conclusión y Bibliografía

Material de

Material de  Mauricio Vega

Martes, 23 / 09 / 2014
   BUSCADOR
 

   TU CORREO
Usuario
Contraseña

   MATRACAS
Lista de correo gratuita
.: Chismes de Adán y Eva :.
Adios a Elisenda Fo...
WolframAlpha: El mo...
WIRIS para Mac...
Third CEU Summersch...
¡Más y más actualiz...
Cerca de 500 MB de ...
Ha llegado el momen...
WIRIS, matemáticas ...
El Universo Matemát...
Segundas Jornadas d...
Los Elementos de Eu...
VI Semana de la Cie...
Tras varios meses d...
¡Chiflados por los ...
Otro verano más, to...

 

Todos los derechos reservados. El Paraíso de las Matemáticas 2010Información Legal Política de PrivacidadAyudaEmail