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.: Historia :.
 
Newton y la mecánica celeste

    Las aportaciones de Sir Isaac Newton a la mecánica celeste están compendiadas en su obra Philosophia Naturalis Principia Mathematica (Los principios matemáticos de la filosofía natural, es decir, de la física), que como sabemos, es sin duda una de las obras más importantes que se registran en la historia de la ciencia. En este tratado, compuesto por tres libros, literalmente Newton sienta las bases de la física moderna.

    Los Principia, como usualmente se les llama, se han descrito a menudo como si fuera una "síntesis", en especial de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario y de las leyes de Galileo sobre la caída de los cuerpos y el movimiento de proyectiles.

Fig.6 Primera ley de Kepler

1a. Ley de Kepler (~1605): Los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.

Fig. 7 Segunda ley de Kepler

2a. Ley de Kepler (~1602): La línea que une la posición de un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3a. Ley de Kepler (ley armónica, ~1619): El cociente entre el cuadrado del periodo de la órbita de un planeta y el cubo de su distancia media al Sol es una constante:

    Pero en realidad, tal no es el caso: de hecho, en los Principia se niega la validez de ambas teorías, a menos que éstas sean modificadas de una manera profunda y fundamental. Aunque no discutiré este importante punto aquí, sí quiero sin embargo recalcar que, en definitiva, constituyen un aporte de una jerarquía mucho mayor que una simple síntesis.

    Por otro lado, explicar cómo es que Newton pudo escribir esta obra, especialmente en tan corto plazo (unos 18 meses), es una empresa imposible y quizá en el fondo inútil: un genio es un genio, y no hay mucha vuelta de hoja. Sin embargo, la historia de como él llegó a escribirla es un capítulo muy importante e interesante dentro de la historia de la Ciencia.

    Así pues, el propósito de esta nota es relatar algunos aspectos en torno a la historia de uno de los puntos principales contenidos en los Principia: la ley de la Gravitación Universal.

    Para entender el papel de Newton en esta historia, empecemos por ubicar el ambiente de trabajo dentro de la Royal Society de Londres hacia 1650. En aquel entonces, seguramente por su gran talento, pero también por origen humilde, Robert Hooke, funge como Curator (es decir, superintendente o custodio) de la Sociedad, y se ve obligado a presentar semanalmente un trabajo distinto (afortunadamente para él no necesariamente original), misión que Hooke desempeñó durante 40 años con atingencia. Semejante labor le fuerza a investigar cosas en casi todas las ramas de la ciencia de su época, y en este plan, entra en contacto y en cierto modo rivalidad con las mentes más activas de su época, como Christian Huygens, así como con un joven genio, de difícil carácter: Isaac Newton.

    Los primeros escarceos entre los dos hombres ocurren por ahí de 1670, cuando Newton, que ha sido nombrado miembro de la Royal Society por sus trabajos en óptica y que favorece de algún modo una teoría corpuscular de la luz, se ve en la posición de tener que contrastar sus resultados con los de Hooke, quien defiende una teoría ondulatoria (que aparentemente descubrió muy aparte de Huygens).

    Este episodio conllevó, aparte de algunos experimentos notables, como el descubrimiento (por Hooke!) de los anillos de difracción de Newton y el célebre experimentum crucis de Newton, donde éste demostró que la luz blanca está compuesta de la superposición de luces de distintos colores, mostrando así que el color es una propiedad física de la luz, un claro distanciamiento entre nuestros personajes.

    Pero el caso es que algunos años después de esta famosa controversia sobre la naturaleza de la luz, el 24 de Noviembre de 1679 para ser precisos, Hooke escribió una carta proponiendo a Newton colaborar en diversos temas, en particular proponiéndole el problema de estudiar la atracción de la Tierra sobre los objetos que caen libremente sobre ella. En esta misma carta, Hooke expone además la hipótesis de que la fuerza de atracción de la Tierra varía como el inverso del cuadrado de la distancia del objeto al centro de la Tierra, y ésta es la primera vez que aparece en la literatura dicha hipótesis.

    Newton no respondió directamente a la invitación, pero a cambio propuso un par de experimentos idealizados, uno de los cuales consistía en el movimiento de un cuerpo en el interior de la Tierra (suponiendo que la fricción no lo afectase), y concluyó que el movimiento sería una especie de espiral, que rápidamente se cerraría en el centro de la Tierra.

    A ello, Hooke replicó que de acuerdo a su teoría del cuadrado recíproco (audazmente extrapolada al interior de la Tierra), el movimiento sería una trayectoria parecida a una elipse y no como la descrita por Newton, y a este refutamiento Newton respondió, un tanto airado, que él en realidad no sabía como sería la órbita.

(a)                                           (b)

Fig.8 Caída libre dentro de la Tierra, según Newton (a) y según Hooke (b).

    Quizá, juzgando la situación a posteriori, la explicación de esta actitud de Newton es que en ese momento, aún aceptando que él ya supiera la ley del cuadrado recíproco, cosa que no es del todo clara como veremos, carecía de medios para calcular la atracción gravitatoria de objetos no puntuales, y era sensiblemente más cuidadoso que Hooke en sus afirmaciones.

    Pero en todo caso, la puerta para la controversia sobre la paternidad de la ley de la Gravitación Universal estaba abierta.

    Es un hecho bastante bien documentado que las primeras consideraciones escritas por Newton sobre esta ley se encuentran en su trabajo, De Motu corporum (Sobre el movimiento de los cuerpos), que fue escrito no antes de 1684, y en el que de hecho se encuentra el germen de los Principia, ya que la primera sección de aquella obra devino en el primer libro y partes del segundo de ésta, en tanto que la segunda parte es una especie de versión expositoria del libro III de los Principia.

    Parece ser que De Motu Corporum fue escrito por Newton a raíz de una visita que recibiera de su colega, amigo y gran astrónomo, Sir Edmund Halley, pero ciertamente también bajo la insistencia de Hooke, quien le presionaba para que escribiera sus resultados en materia de gravitación. El punto es que ni Hooke ni Halley poseían la habilidad matemática para resolver las ecuaciones dinámicas y determinar las órbitas, pero esperaban que "el excelente método" de Newton resolviera el problema. Pero, con justa razón, pues es también bastante claro que él había aportado varias ideas en el transcurso de sus discusiones con Newton, Hooke esperaba también que Newton le diera algo del crédito.

    Sin duda, una de las razones más importantes por las que Hooke sí merece cierto crédito es que existe una clara evidencia de que fue él quien mostró a Newton cómo tratar a las fuerzas en sus componentes radial (centrípeta) y tangencial (centrífuga). Newton, hasta antes de esto, pensaba, como la mayoría de sus contemporáneos, en términos de fuerzas centrífugas, idea que se había originado con los "vórtices" con los que Descartes trató de explicar el movimiento planetario. Esta estrategia de descomposición de las fuerzas fue fundamental en el desarrollo posterior de las ideas de Newton, pues le permitió dar un paso clave en la comprensión de la importancia de la ley de las áreas de Kepler.

    La esencia del argumento es como sigue:

Fig.9 Atracción central en el punto P

si consideramos una partícula que se desplaza con rapidez constante de A a D, como en la figura, donde AB=BC=CD=CD', y DD' es paralela a PC, entonces:

área PAB=área PBC= área PCD.

    En efecto, el movimiento entre los puntos A y C es un movimiento uniforme y evidentemente las áreas de los dos primeros triángulos son iguales. Mediante un sencillo argumento geométrico, que invitamos al lector a tratar de reproducir, Newton probó que como DD' es paralela a PC, entonces PCD también tiene la misma área. Pero, físicamente, esto corresponde a que en C la partícula experimenta un "impulso instantáneo" en dirección del punto P, que actúa entonces como un centro de atracción. Esta igualdad de las áreas de los triángulos finitos fue entonces extrapolada por Newton a triángulos infinitesimales, para concluir que cualquier fuerza central produciría una "ley de áreas" y, en particular en el caso Kepleriano, la ley de las áreas resulta en efecto de la naturaleza central de la fuerza de gravedad.

    Pero, además, yendo en la otra dirección, una vez entendida la naturaleza central de la fuerza de gravedad (nombre que por cierto se debe al propio Newton), la ley del cuadrado recíproco resulta fácilmente de la ley armónica de Kepler, junto con la fórmula de aceleración centrípeta. Esta última fue probablemente descubierta por Huygens, pero en todo caso, seguramente era bien conocida tanto de Hooke como de Newton. El argumento, que es realmente elemental si hacemos la simplificación de tratar al movimiento como circular uniforme, es esencialmente como sigue: si f es la fuerza, m la masa, r el radio de la órbita y t el período de revolución, entonces:

y como es constante, se tiene la relación deseada.

    Por otra parte, tal como pensaban Halley y Hooke, las técnicas de Newton le permitieron a éste fácilmente recuperar, a partir de la ley de la Gravitación Universal, las tres leyes de Kepler. De hecho, la segunda ley, como hemos visto, resulta de la naturaleza central de la fuerza de gravedad, en tanto que se puede probar, y es un ejercicio estándar de cálculo, que la ley del cuadrado recíproco es en cierto modo equivalente a que las trayectorias sean elipses (o cónicas, más generalmente), lo que da la primera y tercera leyes de Kepler (1).

    Pero el caso es que ni en De Motu, ni años después cuando, de nuevo por iniciativa de Halley, Newton publicó la primera edición de los Principia, hizo Newton referencia a Hooke, con la evidente molestia de éste, pero también de Halley, quien sí apreciaba a Hooke. De hecho, Halley logró convencer a Newton de que citara a Hooke en ediciones posteriores de los Principia pero, algo mañosamente, éste lo citó junto con los nombres del propio Halley y de otro astrónomo, Christopher Wren, minimizando así el papel de Hooke en el proceso.

Para tratar de fundamentar su caso sobre este delicado tema de prioridades, Newton esgrimió distintos argumentos en diversas ocasiones: por ejemplo, en alguna ocasión Newton escribió que "con la ayuda de mi método de "Quadraturas", encontré la demostración de las proposiciones de Kepler de que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas describiendo áreas proporcionales a los tiempos", o en otra parte, "mediante el método inverso de fluxiones encontré en 1677 la demostración de la Proposición Astronómica de Kepler".

    Sin duda, parte del problema es que Newton estuvo a lo largo de su vida muy preocupado por mantener la primacía en todo, y por ello estas aseveraciones hay que tomarlas con un buen grano de sal, pues están inmersas en el agitado remolino de sus disputas con Hooke sobre la concepción de la "Ley del cuadrado recíproco". A título anecdótico, y también como una ilustración de la personalidad de Newton, la historia de que la ley de la Gravitación Universal viniera a su mente al observar la caída de una manzana proviene de Newton mismo, y fue propalada en Europa a raíz de una visita que le hiciera Voltaire cuando Newton vivía con su sobrina Catherine Barton, ama de llaves de Lord Montague-Halifax, protector y amigo de Newton. (Por cierto que Catherine debió ser una notable mujer, tanto intelectual como físicamente, pues Voltaire, no sin malicia, afirmaba que la fama de Newton se debía no a la Ley de Gravitación Universal, sino a la belleza de su sobrina.) Y Sin embargo, I. B. Cohen, uno de los principales historiadores de Newton de la actualidad, afirma que es muy poco probable que Newton haya concebido cualquier idea original respecto a la forma explícita de la Ley de la Gravitación Universal antes de 1684, cuando escribió De Motu; es decir, claramente después de que la idea fuera sugerida por Hooke.

    Pero el punto clave es justamente que, aunque sea comprensible la pasión que se generó en torno a quién fue el autor de la ley del cuadrado recíproco, el hecho es que la importancia de la contribución newtoniana en este asunto no radica tanto en darse cuenta de la forma explícita de la Ley de la Gravitación Universal, sino precisamente en que Newton a diferencia de Hooke al momento de escribir los Principia, había comprendido perfectamente el sentido universal de esta ley. Esta es la verdadera aportación de Newton al problema.

    Así, dejando un poco de lado la cuestión polémica, fue esta revaloración de la naturaleza de la ley del cuadrado recíproco por parte de Newton, aunada por supuesto a su dominio del cálculo integral, lo que le permitió ensamblar la última parte del rompecabezas: Calcular las fuerzas gravitacionales producidas por una esfera, cuya densidad es función del radio. (Y aquí es importante notar que la necesidad misma de dar estas justificaciones escapó a Hooke, lo que muestra que éste no había alcanzado una comprensión cabal del problema y pone en perspectiva las aportaciones relativas de ambos.)

    Para el campo de fuerzas en el exterior de una esfera con estas características, Newton probó que efectivamente, éste se comporta como si la masa estuviera concentrada en el centro de la esfera. Esto, aunque algo engorroso, es también un ejercicio más o menos estándar de cálculo que no haré aquí; pero, a título de ilustración, veamos el sencillo argumento que permitió a Newton concluir que el campo en el interior de la esfera es cero:

    En la situación de la figura, consideramos una "cáscara" esférica muy delgada, un punto P en el interior de la esfera y dos conos con vértice en P, cuyo ángulo sólido también suponemos muy pequeño. Para cada cono, el área subtendida sobre las esferas que encierran la cáscara es aproximadamente la misma para las dos esferas y es, en la aproximación lineal, proporcional al cuadrado de las alturas de los conos, que denotamos r y R respectivamente.

Fig.10 Atracción gravitacional en el interior de una esfera.

    De este modo, la masa encerrada en las regiones A y B que se obtienen al intersectar los conos con la cáscara esférica es proporcional a r² y R² respectivamente. Pero entonces, como las fuerzas ejercidas en P por las masas en A y B se han reducido en las razones 1/r² y 1/R² respectivamente, en esta misma aproximación lineal la fuerza neta ejercida sobre P es cero. (De hecho, hablando en lenguaje moderno, en el límite, cuando el espesor de la cáscara y los ángulos sólidos, se hacen cero, se da la igualdad estricta de las fuerzas.)

    Un capítulo aparte de nuestro relato, es la combinación de la Ley de la Gravitación Universal con la tercera ley de la mecánica, el llamado principio de acción y reacción, cuya concepción por parte de Newton, por cierto, parece estar también ligada al mismo proceso que lo condujo a concluir la ley de gravitación.

    Entre otras cosas, este notable logro de Newton constituye el fundamento de toda la teoría de perturbaciones de los movimientos planetarios, labor en la que él mismo contribuyó ampliamente durante los años 1690's. Pero además, esto nos lleva a su vez a lo que quizá sea la contribución más importante de Newton a las matemáticas: la teoría de las funciones analíticas. (Vale la pena recalcar que esta teoría constituye también un lazo que une a Newton con algunos de sus más distinguidos seguidores, entre los que podemos citar a Laplace y Poincaré, por la asombrosa variedad y riqueza de usos y aplicaciones que supieron darle.)

    Y es que en efecto, Newton influyó en las matemáticas de muchas y variadas maneras, pero pocas tan ricas como la indisoluble amalgama del "cálculo fluxional" y la teoría de las series infinitas, en lo que él llamó "el método analítico", o como más tarde se le llamó, la teoría de las funciones analíticas; es decir, el método analítico es el estudio de las funciones escritas como series infinitas de potencias, generalizando así enormemente la posibilidad de estudiar las funciones con técnicas algebraicas, como si fueran polinomios de grado infinito. (Por cierto, que Newton haya tenido la idea de combinar ambas cosas seguramente no fue simple coincidencia, pues a este respecto cabe decir que dos de las más importantes influencias iniciales en la actividad matemática de Newton fueron respectivamente, La Géometrie de Descartes, y La Arithmetica Infinitorum de Wallis.)

    Probablemente el pináculo de sus logros en la materia haya sido su célebre teorema del binomio, pero en realidad, Newton obtuvo los desarrollos de todas las funciones "elementales" del análisis como series de Taylor, bastante antes de que Taylor escribiera cualquier cosa sobre el tema. (Incluso, fiel a sí mismo, Newton se apresuró a escribir sus cálculos sobre los logaritmos antes que Mercator, pues como ya hemos comentado, era marcadamente celoso de su posición de pionero, y a lo largo de su vida, buena parte de sus energías se fueron en controversias con otros científicos por la paternidad de resultados.) Así en definitiva, en vista de lo que la idea de función significa en su época, no es muy exagerado decir que Newton "conocía todas las funciones", y esta influencia newtoniana de identificar con series de potencias perduró hasta bien entrado el siglo XIX en que, a raíz de las manipulaciones de las series trigonométricas que hizo Fourier, resultó patente que se necesitaba una definición más precisa del concepto de función.

    Y sin embargo -y a pesar de que obviamente muchos de los resultados incluidos en los Principia son de naturaleza analítica, e incluso las primeras proposiciones están destinadas a la manipulación de límites-, resulta curioso observar que el espíritu en que están redactados los Principia no obedece a estas influencias analíticas. Todo lo contrario, Newton escribió sus argumentos en términos sintéticos y casi exclusivamente geométricos, virtualmente en el espíritu de la geometría clásica de los griegos, lo que es tanto más curioso cuanto que Newton, en sus inicios, desconocía ésta y se vio forzado a estudiarla a instancias de su profesor, Isaac Barrow.

    De hecho, aparentemente aún hoy siguen abiertas las discusiones de hasta qué punto algunos de los resultados analíticos de los Principia fueron, o no, efectivamente obtenidos con auxilio de las técnicas analíticas. Así por ejemplo, como hemos dicho anteriormente, Newton mismo afirma contundentemente que sí las utilizó cuando escribió que gracias a su método de "Quadraturas", encontró la demostración de las proposiciones de Kepler; pero al mismo tiempo, resulta altamente significativo que en ninguna parte dentro de los Principia (y en ningún otro de sus manuscritos al que se tenga acceso) haya escrito Newton las ecuaciones de la dinámica como fluxiones -cosa que haría Maclaurin más tarde-, lo que hubiera sido en cierto modo el paso natural para estudiar el movimiento a través del método analítico. Y podemos citar otros ejemplos: La forma funcional de las leyes de Newton, esto es, como describiendo relaciones entre funciones, no se debe a Newton; fue originalmente publicada por Varignon en los Mémoires de la Academia de París en 1700. Similarmente, la segunda ley de Newton, en la forma de la ecuación diferencial que hoy nos es tan familiar, fue explícitamente escrita por vez primera en la Phoronimia de J. Hermann en 1716.

    Todo esto parece dar una cierta aura de misterio a esta historia, pero quizá pese a todo lo que hemos dicho aquí sobre su carácter, Newton simplemente prefirió no entrar en las controversias sobre los fluxiones, esos "fantasmas de cantidades que desaparecen" como les llamaba el obispo Berkeley, dejándonos a las generaciones posteriores la tarea de desentrañar el sentido de cosas que él escribió, y que su genio le permitió ver sólo a él.

Historia
   Definición: f. Narración y exposición de los acontecimientos pasados y dignos de memoria, sean públicos o privados.
  En pocas palabras, historia de las matemáticas, biografías, galería de genios, etc.

Índice Isaac Newton

Introducción

Isaac Newton

Newton y las Matemáticas

Teorías del Sistema Solar

Kepler

La mecánica celeste

El estudio de la luz

Europa en los siglos
XVII y XVIII

El racionalismo

Inglaterra en siglo XVII

Bibliografía

Material de

Material de  Mauricio Vega

Miércoles, 3 / 09 / 2014
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