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.: Historia :.
 
Aportes Matemáticos

     Los egipcios buscaron en sus investigaciones, exclusivamente, la aplicación utilitaria de la matemática y, probablemente, de ahí que entre ellos se haya desarrollado considerablemente.

    En Egipto se empleo el sistema decimal. Su año civil se componía de 12 meses de 30 días cada uno a los que se agregaban 5 días adicionales. También se introdujeron los años bisiestos de 366 días y su día y noche tenían, cada uno, 12 horas.

    Sabían que el sol se desplaza en un circulo inclinado con respecto al ecuador. Conocían, asimismo, las estaciones del año y tampoco ignoraban los dos movimientos del Sol: el diurno y el anual.

    En lo referente a las construcciones, estas presentan una técnica notable, en las cuales los arquitectos de esa época aplicaron las propiedades geométricas de las figuras.

    Un papiro encontrado hace mucho tiempo, llamado Papiro Rhind ( o papiro de Ahmés). Es tal vez uno de los documentos escritos más antiguos que poseemos, pues tiene cerca de 4000 años. Se le considera como el primer tratado de Matemáticas que se conoce. El escrito comienza así: "Introducción para llegar al conocimiento de las cosas difíciles, de todos los secretos que están contenidos en las cosas…". Su autor, Ahmes fue un sacerdote que vivió probablemente entre los años –2000 y –1700.

    En realidad, se puede considerar este papiro como un tratado de aritmética. Una especie de "Manual del calculista". Tiene partes teóricas, en particular sobre las progresiones, y da ejemplos de problemas algebraicos que llevan a ecuaciones de primer grado. En buenas cuentas, no da ningún método para resolver los problemas sino que, solamente, se encuentran sus soluciones.

    No se ve en ellos un procedimiento deductivo sino, únicamente, muestran una especie de tablas o recetas para resolverlos. Así, por ejemplo, aparece en el papiro mencionado la costumbre egipcia de expresar toda fracción en una suma de fracciones de numerador la unidad. De esta forma, aparece la fracción 2/47 descompuesta de la siguiente forma

2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470

    Es necesario hacer notar que ellos no escribían 2/47 sino que la descomposición anotada. Esto nos induce a pensar que tenían el concepto de solo una parte alícuota (1/47) pero no de dos (2/47). Aparece una serie de fracciones de esta forma, algunas son correctas y otras falsas. No había, por supuesto, un procedimiento general para hacer estas descomposiciones sino que, sin duda, se ha procedido solo por tanteos.

    Contiene el papiro una tabla que da la descomposición de todas las fracciones de la forma 2/(2n-1) siendo 1< n < 49. Es decir todas las fracciones de denominador impar desde 2/3 hasta 2/97.

    Sin lugar a dudas es este, para nosotros, un problema interesante: ¿Cómo descomponer una fracción en una suma de fracciones de numerador 1, sin que se repita el mismo denominador?

    Aparecen también en el papiro, multiplicaciones, pero usando sólo la tabla del dos. Por ejemplo, suponiendo que se trate de multiplicar 15 por 5, el desarrollo egipcio sería el siguiente:

15 · 2 = 30

30 · 2 = 60

+15 = 75

    Se observa que esta operación se reduce a una simple duplicación y a adiciones sucesivas.

    Por otro lado, presenta una especie de álgebra de aspecto muy pintoresco, existiendo una serie de símbolos para representar a los actuales. En efecto, se encuentra que nuestros signos + y – estaban representados por dos piernas en actitud de caminar y dirigidas hacia la derecha e izquierda, respectivamente. Hay en esto, pues, un principio de dirección, de un sentido geométrico. El signo de la incógnita estaba representado por un montón o bien por un ibis escarbando el suelo. La igualdad estaba representada por ³ , o por un escarabajo, símbolos del devenir. Ahora, el símbolo indicado significa "mayor o igual".

    Los números tienen también sus representaciones por medio de figuras.

    Un problema que aparece resuelto en el papiro, junto con otros es el siguiente: "Dividir cien panes entre cinco personas, de modo que el séptimo de la parte de las tres primeras sea igual a la parte de las otras dos. ¿Cuál es la diferencia?

    Sin duda que con la falta de claridad de este problema es imposible o demasiado fácil resolverlo.  Sin embargo, el papiro dice que la diferencia es 5 ½ y que a cada persona le toca 23, 17 ½, 12, 6 ½ y 1. La suma de estos números es 60; pero si agregamos 2/3 a cada una de ellos, se obtiene la solución pedida. Notemos que estos números están en progresión aritmética, cuya diferencia es 5,5. Ahora bien, puede ser que debido a la influencia babilónica con su sistema sexagesimal, el problema haya sido "dividir 60 panes" y no 100 panes. La misma solución que se da al problema: 23 + 17 ½ + 12 + 6½ + 1 = 60; induce a pensar de esta forma.

    El anunciado correcto de este problema sería: "Determinar cinco términos de una progresión aritmética cuya suma sea 100, de modo que 1/7 de la suma de los 3 primeros sea igual a la suma de los otros dos términos de la progresión."

    La resolución algebraica, siendo x el primer termino y q la razón, sería:

x + (x + q) +(x + 2q) +(x + 3q) + (x + 4q)=100

    Reduciendo queda la ecuación x + 2q = 20 (a)

    Por otra parte, debe verificarse que (3x + 3q)/7 = 2x + 7q ; de donde 11 x + 46q= 0. (b)

    Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (a) y (b) se obtiene como primer termino x=381/3 y para la razón –9 1/6. Resulta una progresión aritmética decreciente cuyos términos son 38 1/3, 29 1/6, 20, 10 5/6, 1 2/3; que es también a lo que se llaga agregando 2/3 a los números que indica el papiro.

    Algunos creen ver en la solución de Ahmes la aplicación del método llamado "de la falsa suposición", y de ser así, habría sido el primero en emplearlo.

    Otra ecuación sencilla de primer grado que aparece es "El montón más su tercio da 19", esto es: x +x/3 = 19.

    También aparecen ecuaciones del tipo a/b x = c, que Ahmes las resolvía por el método de la falsa suposición.

    De lo expuesto hasta ahora, se observa que los adelantos egipcios –a pesar de todo- eran muy rudimentarios. Todo lo han hecho por tanteos, no se ve ningún estudio racional y metódico. Mucho menos, existe en ellos el método deductivo estricto.

    Fuera de esto, el papiro Rhind contiene una parte geométrica. Según Herodoto, los egipcios se especializaron en Geometría debido a que cada año debían rehacer las parcelaciones de las partes que el río había inundado.

    Por lo demás, las fórmulas que aparecen en este papiro son solo aproximadas. Se toma en cuenta la forma de las figuras, rectilínea o circular, y la longitud de las lineas que la limitan.

    Las figuras que aquí se encuentran limitadas por rectas son, en su mayoría, triángulos rectángulos, triángulos equiláteros y trapecios isósceles.

    Una de las formulas que da referente al triangulo isósceles de lado a y base c es su área S =ac/2.

    Para un trapezoide de lados a, b, c y d aparece la formula S = (a+c)/2 · (b+d)/2. Pero esta formula es exacta cuando el trapezoide se transforma en un rectángulo.

    Para la superficie del circulo se encuentra la expresión S = (8/9 d)2, siendo d el diámetro. Si en esta fórmula se expresa el diámetro en función del radio, obtenemos S=256/81 r2 , la cual implica el valor 256/81 para nuestro p , que da aproximadamente 3,1604. La formula dada por los egipcios es empírica y puede decirse que, prácticamente tiene el mismo valor de la que usamos nosotros.

    Asimismo, se encuentran en el papiro la resolución de otros problemas que se basan en la semejanza de figuras.

    Se sabe, además que las parcelaciones eran rectangulares y que, por lo tanto, tenían la necesidad de trazar ángulos rectos. Para este fin, se valían de un instrumento especial que consistía en un triangulo rectángulo hecho de cordeles, el cual les permitía construir perpendiculares en el terreno. Los lados de este triangulo estaban en la razón 3:4:5. En un cordel, ellos aplicaban a partir de un punto tres veces cierta magnitud cualquiera, y hacían un nudo; enseguida, la aplicaban cuatro y después cinco veces, haciendo cada vez un nudo. Según lo dicho, se podría pensar que ellos conocían el Teorema de Pitágoras, pero la verdad es que no se tiene ni se ha encontrado entre ellos un triangulo rectángulo que este construido por otros lados que no sean los mencionados anteriormente. En consecuencia, no cabe duda que el triangulo rectángulo que usaron lo encontraron por experiencias, prácticamente. Los especialistas en el manejo de esta cuerda con nudos eran los Harpedonautas, que corresponden a los agrimensores o literalmente a los "estiradores de cuerda".

    Aparecen también, en este papiro, problemas sobre el calculo de alturas de pirámides, mediante procedimientos gráficos. Por ejemplo, para el caso de una pirámide triangular, de la cual al conocerse sus caras puede determinarse su altura: separaban las caras y las colocaban en un plano.

    Fuera del papiro mencionado, se ha descubierto otro que data del siglo XVIII a.C. Se conserva en Moscú y su estudio no está completamente terminado aún. En él se encuentran datos más completos acerca de la antigua geometría egipcia. Así, se encuentra un enunciado según el cual la superficie de un hemisferio es igual al doble de la superficie del circulo máximo que lo limita.

    También aparece una expresión exacta para el volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas.

    Fueron estas propiedades geométricas las que utilizaron los antiguos arquitectos egipcios en la construcción de sus monumentos y en el trazado de bóvedas, cúpulas, etc.

    El valor de p =4/sqrt(k) donde k es el número áureo fue utilizado (probablemente de modo inconsciente) por los egipcios, en la construcción de la gran pirámide de Kheops. Es, en efecto, cierto que quisieron que las caras de la pirámide estuvieran formadas por las dos mitades de un rectángulo áureo; pero esta elección determinaba la altura total del monumento. Un arqueólogo demasiado entusiasta, que buscaba por todas partes mensajes científicos en la famosa tumba, observo, jugando con los números que había acumulado, que el perímetro de la base era aproximadamente el de un circulo de radio igual a p . De esta coincidencia era imprudente decir que se trataba de una cuadratura aproximada del circulo, por otra parte, muy buena, realizada por los sabios faraones como testimonio de su ciencia.

    De lo dicho se desprende que la geometría, entre los egipcios, no tuvo partes teóricas sino que fue puramente empírica. No aparece en ninguna parte el razonamiento deductivo. De ninguna manera puede considerarse esto como una critica muy dura para ellos, puesto que es una etapa natural por la que ha tenido que pasar el intelecto humano.

Historia
   Definición: f. Narración y exposición de los acontecimientos pasados y dignos de memoria, sean públicos o privados.
  En pocas palabras, historia de las matemáticas, biografías, galería de genios, etc.

Índice Matemática Egipcia

Aspectos Históricos

Aspectos
Organizacionales
y Culturales

Aspectos Científicos
(Aporte a las Ciencias )

Arte, Arquitectura y
Literatura egipcia

Aporte a las Matemáticas

Material de

Material de  Mauricio Vega

Miércoles, 16 / 04 / 2014
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