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LO DIJO...

Bordas Desmoulin  
 
Sin matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía; sin filosofía no se llega al fondo de las matemáticas; sin las dos no se ve el fondo de nada.
 
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.: Historia :.
Matemática China

    Las civilizaciones de China y de la India son mucho más antiguas que las de Grecia y Roma, aunque no más que las que surgieron en los valles de Mesopotamia y del Nilo; ambas se remontan a la llamada Edad Potámica, mientras que las culturas griega y romana se desarrollaron durante la Edad Talásica. Aunque las civilizaciones que tuvieron su cuna en las cuencas de los ríos Amarillo y Yangtze son comparables en Edad a las que nacieron a lo largo del Nilo o entre el Eufrates y el Tigris, los registros cronológicos en el caso de China son mucho menos fiables que los que existen para Egipto y Babilonia. La operación de fechar los documentos matemáticos chinos no es nada fácil y, por ejemplo, las estimaciones que se han hecho acerca del Chou Pei Suan Ching, considerado generalmente como el más antiguo de los clásicos de contenido matemático, difieren entre sí en casi mil años; el problema se complica por el hecho de que esta obra pudiera muy bien ser debida a varios autores de diferentes épocas. Algunos historiadores consideran el Chou Pei como un buen ejemplo de lo que era la matemática china del 1200 a.C. aproximadamente, pero hay otros que sitúan la obra en el primer siglo anterior a nuestra era. Una fecha en torno al 300 a.C. podría parecer razonable, por lo tanto, poniéndola así en estrecha competencia con otro tratado, el Chui-chang suan-shu, escrito hacia el 250 a.C, es decir poco antes del advenimiento de la dinastía Han (202 a.C.) Las palabras "Chou Pei" parecen referirse al uso del gnomon para el estudio de las órbitas circulares en los cielos, y le libro con el mismo titulo trata, de hecho, de cálculos astronómicos, aunque incluya también una introducción a las propiedades del triangulo rectángulo, así como algunas cosas sobre el uso de las fracciones. El libro esta escrito en forma de dialogo entre un príncipe y su ministro sobre el calendario; el ministro explica a su soberano que el arte de los números deriva del circulo y del cuadrado, de los que el cuadrado pertenece a la tierra y el circulo a los cielos. El Chou Pei nos revela que en China la geometría, tal como en Egipto, debió surgir de la agrimensura, y que, como pasaba en Babilonia, la geometría china se reducía a un ejercicio numérico de aritmética y álgebra. Parece haber en él algunas indicaciones relativas al teorema de Pitágoras, un teorema tratado, en todo caso, algebraicamente por los chinos.

Los Nueve Capítulos

    Casi tan antiguo como el Chou Pei es el Chui-chang suan-shu o los "Nueve capítulos sobre el arte Matemático", quizá la obra que ejerció mayor influencia de entre todos los libros matemáticos chinos. Este libro incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía, ingeniería, impuestos, calculo, resolución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos. Mientras que los griegos de la misma época escribían tratados expositivos sistemáticos, ordenados de manera lógica, los chinos se dedicaban a repetir la vieja costumbre de los babilonios y egipcios de coleccionar conjuntos de problemas concretos. También aparece en los "nueve capítulos", el uso del método de "falsa posición", por la invención de este procedimiento, lo mismo que el origen de la matemática china en general, parece haber sido independiente de toda influencia occidental.

    En las obras matemáticas chinas sorprende la abigarrada mezcla de resultados exactos e inexactos, primitivos y sofisticados. Se dan reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios; el área del circulo se calcula tomando los tres cuartos del cuadrado construido sobre el diámetro, o bien, un doceavo de cuadrado de la circunferencia, lo cual sería un resultado correcto si tomamos 3 como valor de p , pero para el área de un segmento de circulo se utiliza el resultado aproximado de , donde s es la sagita (es decir, el radio menos la apotema del segmento) y c es la cuerda base del segmento. Hay algunos problemas que están resueltos por medio de reglas de tres, y en otros se encuentran raíces cuadradas e incluso cubicas. El capitulo ocho tiene importancia por la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales, utilizando números positivos y negativos; el ultimo problema de este capitulo, por ejemplo, plantea la resolución de un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas y el tema de las ecuaciones indeterminadas va a quedar como uno de los favoritos de los pueblos orientales. El capitulo noveno incluye diversos problemas sobre triángulos rectángulos, algunos de los cuales reaparecerán más tarde en la India y Europa: uno de ellos pide calcular la profundidad de un estanque circular de 10 pies cuadrados de superficie, sabiendo que una caña que crece en su centro y que asoma un pie por encima del agua, alcanza exactamente la superficie si se la dobla hasta el borde del estanque. Otro de los problemas es el del bambú roto: Hay un bambú de 10 pies de altura que se ha roto de manera tal que el extremo superior se apoya en el suelo a una distancia de 3 pies de la base; se pide calcular a que altura se ha producido la rotura.

Los Cuadrados mágicos

    Los chinos han sido siempre muy aficionados a los diseños armónicos, aritméticos o geométricos, y no es sorprendente por lo tanto que el primer ejemplo registrado de cuadrado mágico haya aparecido aquí. El cuadrado

le fue comunicado a los hombres por una tortuga del río Lo, según la leyenda, en los días del emperador Yii, famoso ingeniero hidráulico. El interés por este tipo de modelos es sin duda lo que llevo al autor de los nueve capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

mediante operaciones sobre las columnas de la matriz

para reducirla a la forma

donde esta segunda forma representa el sistema de ecuaciones

36z = 99 , 5y + z = 24 , 3x + 2y + z = 39

del cual se pueden obtener fácilmente, y de una manera sucesiva, los valores de z, y, x.

Los numerales a base de varillas

    Si la matemática china hubiera disfrutado de una continuidad sin interrupciones basada en la tradición, es posible que algunas de las sorprendentes anticipaciones de ciertos métodos modernos pudieran haber llegado a modificar de una manera significativa el desarrollo de la matemática, pero la cultura china vio a veces seriamente dificultado su desarrollo por bruscas rupturas. El año 213 a.C. por ejemplo, ordenó el emperador chino la quema de libros, excluidos probablemente los de tipo técnico. Algunas obras debieron obviamente sobrevivir, o bien porque se conservasen copias en forma clandestina o por simple transmisión oral de obras aprendidas integramente de memoria. De esta forma el saber consiguió persistir superando las dificultades, con el énfasis puesto, en el caso de la matemática, en los problemas relativos al calendario y el comercio.

    Parece haber existido algún tipo de contacto entre la India y China, así como entre China y el Oeste, pero los historiadores difieren al evaluar la extensión y la dirección de las influencias ejercidas. La tentación natural de ver una influencia babilónica o griega en China, por ejemplo, choca con el problema importante de que los chinos nunca hicieron uso de las fracciones sexagesimales. El sistema de numeración chino permaneció esencialmente decimal, con notaciones sorprendentemente diferentes de las utilizadas en otros países. En china se utilizaron dos esquemas de notación distintos desde los tiempos más primitivos. En uno de ellos predominaba el principio multiplicativo, mientras que en el otro se utilizaba una forma de notación posicional. En el primero había cifras distintas para los dígitos del uno al diez, y otras cifras para las potencias de diez, y en la forma escrita los dígitos que ocupaban una posición impar (de izquierda a derecha o de abajo arriba) se multiplicaban por sus sucesores; así por ejemplo el numero 678 se escribiría como un 6 seguido por el símbolo para el 100, después un siete seguido del símbolo para 10, y por ultimo el símbolo para el 8.

    En el sistema de los "numerales a base de varillas", los dígitos del 1 al 9 se representaban por

y los nueve primeros múltiplos de 10 por utilizando estos 18 símbolos alternadamente en las posiciones de derecha a izquierda, se pueden expresar números tan grandes como se desee; por ejemplo, el numero 56.789 se representaría por

    Al igual que en Babilonia, solo de una manera tardía apareció un símbolo para representar una posición vacía. En una obra del año 1247 se escribe el numero 1.405.536 usando un símbolo redondo para el cero, de la forma

    En ocasiones, como pasa con algunas formas del triangulo aritmético que datan del siglo XIV, las varillas o palotes verticales y horizontales aparecen intercambiadas.

    La época exacta en la que aparecieron los numerales a base de varillas no se ha podido determinar, pero es seguro que ya se usaban varios siglos antes de nuestra era, es decir, mucho antes de que se adoptara el sistema de notación posicional en la India.

    El uso de un sistema posicional centesimal más que decimal en China resultó conveniente para la adaptación de los cálculos a la tabla de calcular; las distintas notaciones para las potencias de 10 permitirán a los chinos utilizar unas tablas de calcular con columnas verticales sin marca, y hasta el siglo VIII el lugar que debía ocupar un cero se dejaba simplemente en blanco. Aunque en los textos anteriores al año 300 de nuestra era los números y las tablas de multiplicar se escribían en palabras, de hecho, los cálculos se realizaban con numerales a base de varillas sobre una tabla de calcular.

El ábaco y las fracciones decimales

    Los numerales a base de varillas del año 300 a.C. aproximadamente no eran una simple notación para escribir los resultados de una computación, sino que los administradores, por ejemplo, llevaban consigo una bolsa que contenía una colección de varillas concretas de bambú, marfil o hierro, que utilizaban como instrumentos para hacer sus cálculos. Las varillas para contar las manejaban los chinos con tanta habilidad que un escritor del siglo XI nos las describe como "volando con tal rapidez de un lado a otro que el ojo no podría seguir su movimiento". Los pasos consistentes en cancelaciones de cantidades iguales se podían llevar a cabo probablemente con mayor rapidez usando las varillas en una tabla de calcular que en los cálculos escritos y, de hecho, resulto tan eficaz el uso de las varillas y de las tablas de calcular, que el ábaco o marco de calcular rígido, con bolas movibles a lo largo de barras paralelas no se comenzó a utilizar tan tempranamente como se había supuesto de manera general. Las primeras descripciones claras que nos encontramos de sus formas modernas, conocidas en China con en nombre de Sua Phan y en Japón como Soroban, datan del siglo XVI, aunque ciertas anticipaciones podrían haber sido utilizadas quizá hasta mil años antes. La palabra latina abacus probablemente se deriva de la palabra semítica abq que significa polvo, lo cual nos indicaría que en otros países, lo mismo que en China, este aparato evolucionó a partir de una bandeja llana de polvo o arena y que se utilizaba como tabla de calcular. Es posible, aunque no seguro en absoluto, que el uso de la tabla de calcular sea anterior en China que en Europa, pero en cualquier caso no se dispone de fechas precisas y fiables. Exactamente cuándo dieron paso estos utensilios al ábaco propiamente dicho es una cuestión difícil de decidir, así como tampoco se puede decir si la aparición del ábaco en China, en Arabia y en Europa se debió o no a inventos independientes entre sí. El ábaco árabe tenía 10 bolas en cada alambre y no tenía barra central, mientras que el chino tenía en cada alambre 5 bolas por debajo de la barra central y dos por encima, cada una de las bolas superiores en un mismo alambre del ábaco chino equivale a cinco de las inferiores, y para registrar un numero se hacen deslizar el numero correspondiente de bolas hacia la barra central que las separa unas de otras.

Modelo de ábaco chino

    No se puede considerar completa la descripción del sistema de numeración chino sin hacer referencia al uso de las fracciones. Los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones. Al igual que hacían en otras materias, también aquí establecían analogías con los distintos sexos, refiriéndose al numerador como "el hijo" y al denominador como "la madre"; el énfasis generalizado en toda la cultura china sobre los principios del yin y el yang hacia más fácil seguir las reglas para manipular fracciones. Más importante que estas curiosidades era, no obstante, la tendencia a la decimalización de las fracciones en China. La adopción de un sistema decimal en pesos y medidas dio como resultado que se impusiera el hábito decimal en el manejo de las fracciones, que puede rastrearse, según se dice, tan lejos en el tiempo como el siglo XIV a.C. Algunas veces se adoptaron ciertas artimañas de carácter decimal para aligerar un poco la manipulación de las fracciones; así, por ejemplo, en un comentario a los nueve capítulos que data del primer siglo de nuestra era, nos encontramos con el uso de unas reglas que hoy nos son muy conocidas para el calculo de raíces cuadradas y cubicas, equivalentes a escribir y , y que facilitan la decimalización al hacer extracciones de raíces.

La idea de los números negativos parece no haber ocasionado muchas dificultades a los chinos, puesto que estaban acostumbrados a calcular utilizando dos conjuntos de varillas, uno de color rojo para representar los números o coeficientes positivos y el otro de color negro para los negativos. Sin embargo, no aceptaron la idea de que un numero negativo pudiera ser una solución de una ecuación.

Los valores de p  en China

    La matemática china primitiva es tan distinta de la que se hacia en la misma época en otros lugares del mundo que parecería completamente justificada la hipótesis de un desarrollo independiente por completo. En cualquier caso, lo que parece que puede afirmarse con toda seguridad es que si hubo alguna intercomunicación antes de 400, entonces salió más matemática de China que entro, pero en cambio para periodos posteriores la cuestión se hace más difícil de responder. El uso del valor 3 para p en la matemática china primitiva puede servir como argumento a favor de una hipotética dependencia de Mesopotamia, especialmente a la vista de que la búsqueda de valores cada vez más exactos fue más persistente en China que en ningún otro sitio, desde los primeros siglos de la era cristiana. En este proceso nos encontramos con los valores , y en el siglo III aparece Liu Hui, importante comentarista de los nueve capítulos, que obtiene en valor 3,14 usando un polígono regular de 96 lados y la aproximación mucho mejor 3,14159 considerando un polígono de 3072 lados. En la refundición que hizo Liu Hui de los Nueve capítulos hay muchos problemas sobre el calculo de medidas , incluyendo la determinación correcta del volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada, para el tronco de cono circular se aplica una formula análoga, pero con el valor 3 para p . Una regla sorprendente en la que da el volumen del tetraedro con dos aristas opuestas perpendiculares como 1/6 del producto de estas dos aristas por el segmento perpendicular común. Para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de la falsa posición, pero hay también otros resultados algebraicos más sofisticados tales como la resolución por medio de un esquema matricial de un problema diofántico en el que aparece un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas. La resolución aproximada de ecuaciones de grados más altos parece haber sido efectuada recurriendo a un artificio análogo al que nosotros conocemos como método de Horner. Liu Hui incluye también en su obra sobre los nueve capítulos gran cantidad de problemas sobre calculo de alturas de torres inaccesibles y de árboles en laderas de montañas.

    La fascinación que ejerció sobre los chinos el número p alcanzo su punto más alto en la obra de Tsu Chu’ng-Chih (430-501). Uno de sus valores era el conocido valor arquimediano , al que califica de "inexacto"; su valor "exacto" era . Si uno se encuentra obsesionado buscando posibles influencias occidentales, puede explicar esta aproximación tan buena que no se vio igualada en ninguna parte hasta el siglo XV restando los numeradores y denominadores respectivamente del valor dado por Arquímedes al valor dado por Ptolomeo . Sin embargo, Tsu Chu’ng-Chih llego incluso más lejos en sus cálculos, ya que dio también 3,1415927 como un "valor por exceso" y 3,1415925 como un "valor por defecto" para p. Los cálculos por medio de los cuales llego a estos resultados, ayudado al parecer por su hijo Tsu Cheng-Chih, estaban contenidos probablemente en alguno de sus libros que se ha perdido. En cualquier caso sus resultados fueron muy notables para esta época, y resulta muy oportuno el haber puesto su nombre a un accidente geográfico de la superficie lunar.

    No debemos olvidar, sin embargo, que el grado de exactitud alcanzado en el calculo del valor de p es más una cuestión de resistencia calculistica que de inteligencia teórica. De hecho, basta con el teorema de Pitágoras para conseguir una aproximación tan buena como se desee. Si partimos del perímetro conocido de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia, entonces en perímetro del polígono regular inscrito de 2n lados se puede calcular por medio de dos aplicaciones del teorema de Pitágoras. Sea, en efecto, C una circunferencia de centro O y radio r y sea PQ = s un lado del polígono regular inscrito de n lados, cuyo perímetro conocemos: Entonces la apotema OM = u viene dada por , y por lo tanto también conocemos la sagita MR = v = r – u , de donde el lado RQ = w del polígono regular inscrito de 2n lados se puede calcular a partir de la formula , y conocemos por ultimo el perímetro 2nw. Este calculo puede abreviarse, como observo Liu Hui, teniendo en cuenta que w2 = 22rv. Repitiendo este procedimiento iremos obteniendo aproximaciones cada vez mejores del perímetro de la circunferencia, en términos del cual se define p.

El álgebra y el método de Horner

    Los problemas encontrados en la matemática china parecen ser a menudo más pintorescos que prácticos, y, sin embargo, la civilización china produjo un número de innovaciones técnicas sorprendentemente alto. La utilización de la imprenta y la pólvora (siglo VIII), así como del papel y de la brújula marina (siglo XI) fue anterior en China que en cualquier otro lugar, y anterior también a la época más brillante de la matemática china, que tuvo lugar durante en siglo XIII, coincidiendo con la ultima parte del período Sung. En esta época había matemáticos trabajando en diversos lugares de China, pero las relaciones entre ellos parecen haber sido escasas y remotas y han llegado a nosotros relativamente pocos de los tratados que circularon en esos días. El ultimo y a la vez más importante de los matemáticos fue Chu Shih-Chieh que floreció hacia los años 1280-1303 a pesar de lo cual se sabe tan poco sobre el que no se conoce la fecha exacta de su nacimiento ni muerte. Vivió en Yen-shan, cerca de Peking. Escribió dos tratados, el primero de ellos, escrito hacia 1299, fue el Suan-hsüeh ch’i-meng o "Introducción a los estudios Matemáticos" un libro relativamente elemental que ejerció, sin embargo, gran influencia en Corea y Japón, aunque en China desapareció más tarde y estuvo perdido hasta su reaparición en el siglo XIX. Mayor interés histórico y matemático tiene el Ssu-yüan yü-Chien o "Espejo precioso de los cuatro elementos", escrito en 1303. Los cuatro elementos a que se refiere el titulo, que son el cielo, la tierra, el hombre y la materia representan las cuatro incógnitas de una ecuación. Este libro marca la cota más alta que alcanzo el desarrollo del álgebra china, y en él se estudian tanto sistemas de ecuaciones simultaneas como ecuaciones individuales de grados tan altos como 14. Chu Shih-Chieh explica en este libro un método de transformaciones que él llama el fan fa, y cuyo fundamento debe haber aparecido en China mucho tiempo antes, método que suele conocerse en Occidente como ‘método de Horner’, matemático que vivió medio milenio más tarde. Para resolver la ecuación x2 + 252x – 5292 = 0, por ejemplo, Chu Shih-Chieh obtiene en primer lugar por tanteo la aproximación 19, lo cual significa que la ecuación tiene una raíz entre x=19 y x=20, y a continuación utiliza en fan fa, en este caso la transformación y = x - 19, para obtener la ecuación y2 + 290y – 143 = 0 con una raíz entre 0 y 1. El valor aproximado de la raíz buscada es , y por lo tanto el correspondiente valor de x es . Para la ecuación x3 – 574 = 0 usa la transformación y =x – 8, que conduce a y3 + 24y2 + 192y – 62 = 0 y la raíz buscada viene expresada como ó . En algunos casos Chu Shih-Chieh obtiene aproximaciones decimales de las raíces.

Los matemáticos del siglo XIII

    El llamado método de Horner era bien conocido en China, como lo demuestra el hecho de que por lo menos tres matemáticos del período Sung tardío hicieran uso de procedimientos análogos. Uno de ellos fue Li Chih (1192-1279), quien vivió en Peking y a quien Khubali Khan ofreció en 1260 un puesto en el gobierno, el cual Li Chih rehusó con una cortés excusa. Su libro Ts’e-yuan hai-ching o "Espejo marino de las medidas del circulo", contiene 170 problemas relativos círculos inscritos y circunscritos a un triangulo rectángulo y a las relaciones entre los lados y los radios, donde algunos de estos problemas conducen a ecuaciones de cuarto grado. Aunque Li Chih no explica su método de resolución de ecuaciones, entre las cuales hay algunas de grado 6, todo hace pensar que no era muy diferente del utilizado por Chu Shih-Chieh y más tarde por Horner. Otros dos matemáticos que usaron el método de Horner fueros Ch’in Chiu-Shao y Yang Hui. El primero de ellos fue además un ministro y gobernador sin escrúpulos que tuvo el mérito notable de adquirir enormes riquezas en los cien días de su mandato. Su Obra Shu Chiu-Chang o "Tratado Matemático en nueve secciones" marca el punto culminante del análisis indeterminado chino, con la invención de reglas rutinarias para resolver problemas de congruencias simultaneas. También aparece en esta obra el calculo de la raíz cuadrada de 71824 por etapas, paralelamente a lo que se hace en el método de Horner: partiendo de 200 como primera aproximación de la raíz de x2 – 71824 = 0, reduce esta raíz en 200 mediante el cambio de incógnita que conduce a y2 + 400y – 31824 = 0. Para esta segunda ecuación Ch’in Chiu-Shao encuentra que 60 es una buena aproximación de la raíz y disminuyéndola en 60 se llega a una tercera ecuación z2 + 520z – 424 = 0, de la que 8 es raíz, y por lo tanto tenemos que x = 268. De una manera similar resuelve ecuaciones cúbicas y cuárticas. El mismo procedimiento de Horner fue utilizado por Yang Hui, de cuya vida se sabe casi nada y cuya obra sólo se conserva en parte; entre sus contribuciones que han llegado hasta nosotros hay que contar los primeros cuadrados mágicos chinos de orden mayor que tres, incluyendo dos de cada uno de los ordenes cuatro a ocho y uno de cada uno de los ordenes 9 y 10.

El triangulo Aritmético

    Las obras de Yang Hui incluían también otros resultados acerca de la suma de series finitas y del llamado "triangulo de Pascal", pero estos temas son más conocidos por haber aparecidos publicados en el espejo precioso de Chu Shih-Chieh, con el que se cierra la edad de oro de la matemática china. Como ejemplos de las muchas sumas de series finitas que aparecen en el espejo precioso, se puede considerar las siguientes:

de las cuales no se da, sin embargo, demostración alguna, ni tampoco parece que el tema haya sido tratado de nuevo en China hasta casi el siglo XIX. Chu Shih-Chiehs se maneja con estas sumas por medio del método de diferencias finitas, algunos elementos del cual parecen remontarse en China al siglo VII, pero poco después de publicada esta obra el método en cuestión desapareció por varios siglos.

    El espejo precioso comienza con un diagrama del triangulo aritmético, conocido en Occidente como Triangulo de Pascal y en este diagrama figuran los coeficientes de los distintos desarrollos binómicos hasta la octava potencia, escritos con toda claridad en al sistema de numerales a base de varillas y con un símbolo redondo para el cero. Chu no pretende ser el autor de este triangulo, sino que se refiere a él como el diagrama del viejo método para hallar potencias octavas e inferiores’. De hecho, ya había aparecido en la obra de Yang Hui una distribución análoga de los coeficientes hasta la sexta potencia de un binomio, aunque sin utilizar un símbolo redondo para el cero, y en algunas obras chinas de hacia el 1100 se encuentran referencias sistemas de tabulación para el triangulo aritmético, y es probable que dicho triangulo aritmético tuviera su origen en China más o menos por estas fechas. Es interesante hacer notar que el descubrimiento por parte de los chinos del teorema binomial para potencias enteras positivas, estuvo asociado en su origen a la extracción de raíces más que al cálculo de potencias. Una forma equivalente de este teorema la conocía al parecer también Omar Khayyam por la misma época en que estaba siendo utilizado en China, pero la obra árabe más primitiva que ha llagado hasta nosotros y que lo incluye se debe a Al-Kashi y data del siglo XV; por esta época la matemática china ya no podía equipararse en su desarrollo con la europea ni con la del próximo oriente, y es muy probable que para ese entonces China importase más matemática que exportase. Aún queda por resolver, sin embargo, el espinoso problema de determinar las influencias relativas entre China y la India durante el primer milenio de nuestra era.

Historia
   Definición: f. Narración y exposición de los acontecimientos pasados y dignos de memoria, sean públicos o privados.
  En pocas palabras, historia de las matemáticas, biografías, galería de genios, etc.

Índice Matemática China

Antecedentes
Históricos y Sociales

Aportes Científicos y Culturales de China

Matemática China

Material de

Material de  Mauricio Vega

Viernes, 19 / 12 / 2014
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