Resumen: los números de Mersenne son de la forma M_p= 2^p -1, cuando p es primo y M_p también lo es, M_p se denomina primo de Mersenne. Existen pruebas especiales de primalidad y búsqueda de factores que los hacen matemáticamente atractivos.

    Marin Mersenne (1588-1648) fue un fraile franciscano que pasó la mayor parte de su vida en los monasterios parisinos. Fue el autor de "Cognitata Physico-Mathematica" en donde afirma sin probarlo que M_p es primo para p=2, 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127 y 257 y para ningún otro primo hasta 257. Llevó 300 años establecer la veracidad de esto; en 1947 se comprobó que Mersenne había cometido cinco errores (M₆₁ es primo, M₆₇ es compuesto, M₈₉ es primo, M₁₀₇ es primo y M₂₅₇ es compuesto). Su correspondencia con Fermat entre otros matemáticos contribuyó al desarrollo de la teoría de números.

    Dos resultados importantes sobre estos números son: la forma especial que tienen sus divisores y un test rápido (Lucas-Lehmer) para averiguar si son primos o no. Puedes encontrar ambos resultados llevados a la práctica en lo programas mersdiv.c y lucasleh.c.

    Ha habido mucha actividad dirigida a encontrar primos de Mersenne ya que constituyen algunos de los primos más grandes conocidos y que por cada uno descubierto tenemos un nuevo número perfecto par (un número n es perfecto par si y solo si n=2^p * M_p siendo M_p un primo de Mersenne; no se sabe aún si existen números perfectos impares se sabe que si existen son mayores que 10²⁰⁰).

    He aquí una tabla con los números de Mersenne conocidos hasta ahora, donde P_p = 2_p.M_p es el número perfecto obtenido a partir de M_p

Referencias

[1] The Prime pages
[2] www.mersenne.org (GIMPS)
[3] Rosen, Elementary number theory
[4] Página de Landon Curt Noll