www.matematicas.net - BMMI 3
BMMI número 3
27 de Junio de 2001

"Boletín Matemático para Mentes Inquietas (BMMI)" (c) 2001
MAGAZINE ELECTRÓNICO. Año I. Núm 003. Junio/Julio 2001

Este número se distribuye para 1112 lectores hispanohablantes de todo el mundo.
El mayor patrimonio de la humanidad es una mente inquieta. Isaac Asimov.

Publicación electrónica bimestral y gratuita del Paraíso de las Matemáticas, destinada a la difusión e intercambio de novedades, comentarios, reflexiones y opiniones vinculadas al ámbito de las Matemáticas.

Sumario >>
01 Editorial 08 Juegos matemáticos
02 Forum Cómo Jugar a Sherlock Holmes
03 Permutaciones 09 El Debate
04 Grupos, Series y Aritmética Reforma de la Universidad
05 Astronomía: Impactos ¿Sistemas obsoletos?
06 Deducción e inducción 10 Estadísticas matemáticas.net
07 Eventos 11 Noticias matemáticas.net

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Editorial  

Elisenda
Font
Campdelacreu

Este número llega con un poco de retraso...un poco más de la cuenta, para ser exactos (debemos serlo, somos matemáticos). Podríamos darle la culpa a la última intifada, a la caída de la Bolsa, a la devaluación del euro, o a la falta de inversión en I + D (que falta mucha, muchísima, y prueba de ello es que a nosotros no nos llega ni tan solo una monedita de curso legal en algún país) pero lo cierto es que serían excusas. Lo cierto es que teníamos la cabeza en otra parte: los estudiantes, en los exámenes a los que deben presentarse, y los profesores leyendo estos mismos exámenes, pero de nuestros alumnos presenciales. El único que fue rápido fue el Dr. Nieto, con un interesante artículo que retrasó más todavía el trabajo de los pocos que tuvimos acceso a él, que quedamos hipnotizados con este reto a nuestras Mentes Inquietas. Son las ventajas de colaborar... de modo que ¡animo y a enviar artículos! ¿O acaso pretendéis hacer vacaciones solo vosotros?. Como dicen los niños ¡esto no vale!. O trabajamos todos o el Boletín se irá a pique.

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Articulo

Permutaciones y el Juego del 15

José
Heber
Nieto

Universidad
del Zulia.
Venezuela.

Este juego fue inventado hace más de cien años por Sam Loyd (1841-1911), uno de los más grandes creadores de acertijos y rompecabezas que han existido. En su época causó verdadero furor, y en la actualidad aún mantiene su popularidad. Consiste en una caja cuadrada en la cual hay quince cuadraditos numerados del 1 al 15. Al principio están dispuestos como se indica en el diagrama siguiente. Observe que los números 14 y 15 están fuera de orden y que el ángulo inferior derecho está vacío.

(Haga clic para volver a la posición inicial.)

Los movimientos permitidos consisten en deslizar uno de los números adyacentes al espacio vacío hasta ocupar su lugar, dejando vacante el que ellos ocupaban (vea el efecto en nuestro modelo haciendo clic en el 12 o en el 14). Si continuamos moviendo los números de este modo es posible modificar totalmente el orden original. Pues bien, Sam Loyd ofreció pagar mil dólares a quien lograra, mediante alguna secuencia de movimientos, dejar los quince números ordenados en forma creciente y con el espacio vacío en la misma posición que al inicio. En otras palabras, hay que intercambiar el 14 y el 15, dejando a los demás números en su posición inicial. ¡Inténtelo ahora usted mismo!

Si no lo consiguió, no se desanime: ¡en realidad nadie pudo cobrar el premio ofrecido por Sam Loyd!

Para comprender lo que ocurre, recordemos que una permutación de los números del 1 al n es una reordenación cualquiera a1, a2,...,an de la secuencia 1, 2,...,n. Si   i < j   y   ai > aj se dice que el par (ai,aj) es una inversión de la permutación a1, a2,...,an. Una permutación es par si el número total de sus inversiones lo es; en caso contrario se dice que la permutación es impar. Es claro que a cada posición del juego del 15 le podemos asociar una permutación de los números del 1 al 15, leyendo los números en la caja de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, sin tomar en cuenta al espacio vacío. Por ejemplo a la posición inicial del problema propuesto por Sam Loyd le corresponde la permutación 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14. Esta permutación tiene una sola inversión, a saber el par (15, 14), por lo tanto es impar. La permutación que había que obtener para ganar el premio es sencillamente 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, la cual no tiene inversiones y por lo tanto es par (ya que 0 es un número par).

Ahora veamos qué ocurre cuando hacemos un movimiento en el juego del 15. Es claro que los movimientos horizontales no modifican en nada la permutación y tan sólo desplazan la casilla vacía dentro de la misma fila. En cambio si movemos un número hacia abajo el efecto será que este número adelanta a los tres que le siguen, y además el espacio vacío pasará de una fila impar a una par, o viceversa. Por ejemplo en la posición:

5

3

1

4

10

8

7

11

6

15

2

9

13

14

12

Si bajamos el 7 entonces éste adelanta al 11, al 6 y al 15. ¿Qué ocurre con la paridad de las permutaciones antes y después del movimiento? En primer lugar observemos que al bajar un número la única alteración del orden que se produce es la de ese número con los tres que le siguen. Por lo tanto las únicas inversiones que pueden cambiar son las que relacionen al número movido con los otros tres. Así al bajar el 7 la inversión (7, 6) desaparecerá; pero en cambio aparecerán dos nuevas: la (11, 7) y la (15, 7). En general si el número a bajar está en inversión con k de los tres que le siguen (donde k puede ser 0, 1, 2 o 3), al efectuar el movimiento esas k inversiones desaparecerán, pero aparecerán 3 - k nuevas. El cambio en el número total de inversiones será (3 - k) - k = 3 - 2k, que siempre es impar. Por lo tanto las permutaciones antes y después del movimiento serán de diferente paridad. De modo análogo, subir un número hace que éste retroceda tres puestos y la permutación resultante tendrá paridad diferente a la de partida.

Ahora bien, si partimos de la posición inicial propuesta por Sam Loyd y llegamos a otra con el espacio vacío en la misma posición, el número de movimientos verticales realizados debe haber sido par (ya que el espacio vacío debe haber subido tantas veces como bajó). Por lo tanto la paridad de la permutación cambió un número par de veces, lo cual equivale a decir que quedó igual que al principio (o sea impar). Esto demuestra que ni la permutación ordenada del 1 al 15, ni ninguna otra permutación par con el espacio vacío en la esquina inferior derecha puede ser obtenida a partir de la posición inicial, y Sam Loyd en ningún momento corrió el riesgo de tener que pagar mil dólares.

Como se sabe hay 15! = 1307674368000 permutaciones de los números del 1 al 15, y exactamente la mitad son pares (la otra mitad impares). Puede probarse que a partir de la posición inicial de Sam Loyd puede obtenerse cualquier permutación impar con el hueco en la cuarta o en la segunda fila, y cualquier permutación par con el hueco en la primera o tercera filas. Por ejemplo, puede obtenerse la posición

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

En cambio no se pueden obtener permutaciones impares con el hueco en la primera o tercera filas, ni permutaciones pares con el hueco en la segunda o en la cuarta filas. En resumen, el conjunto de todas las posiciones del juego del quince se puede dividir en dos clases, tales que de una posición se puede pasar mediante movimientos válidos a cualquier otra de la misma clase, pero a ninguna de la otra clase.

Para finalizar, un ejercicio interesante para mentes inquietas: analizar la generalización de este juego con los números desde 1 hasta n2 - 1 colocados en un cuadrado de nxn.

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Articulo

Grupos, Series y Aritmética

José Antonio
Pérez
Monterrubio

La Universidad
 Hebrea en
Jerusalén

Sea G un grupo cualquiera:
  
Definición: Un conjunto (generalmente finito, aunque no necesariamente) de subgrupos {Hi} de G es una serie de G si:

(**)  {1}=H1£H2£...£Hn£...G , y para cada i=1,2,..., Hi es normal en Hi+1.

Nota: Para algunos autores (e.g., Rotman) la anterior es una serie normal de G; para otros (e.g., Rose, Robinson) la anterior es una serie subnormal de G; para nosotros será simplemente una serie o una serie subnormal.

Definición: Una serie como (**) de G es llamada serie normal si para todo i=1,...,Hi es un subgrupo normal de G ( y no tan solo de Hi+1 ). Este tipo de series es también llamada algunas veces una serie jefe (chief series) o serie principal.

Definición: Una serie como (**)  es llamada serie central si es normal y para todo i=1,2,...,Hi+1/Hi está contenido en el centro Z(G/Hi) del grupo G/Hi.

Dados un grupo G y cualquier dos elementos suyos x,y , denotamos el conmutador de x,y de la siguiente manera: [x,y]:=x'y'xy , en donde x'=x-1 (la notación x' es tan solo por simplicidad de escritura). Tenemos el siguiente:

Lema 1: Un serie como (**) es central si y solo si para todo i=1,2,..., h pertenece a Hi+1
<==> para todo g en G, [h,g] esta en Hi.

Demostración: Supongamos que (**) es central ==> para todo i=1,2,..., el factor Hi+1/Hi está contenido en Z(G/Hi) <==> para todo h en Hi+1, el elemento hHi de Hi+1/Hi conmuta con cualquier elemento gHi de G/Hi <==> (hHi)(gHi) = (gHi)(hHi) <==> (hg)Hi = (gh)Hi <==> (gh)'(hg)=h'g'hg=[h,g] está en Hi; en la otra dirección, si [h,g] está en Hi siempre que h está en Hi+1 y g en G, entonces [h,g]=h'g'hg=(gh)'(hg) está en Hi <==> (hg)Hi=(gh)Hi <==>   (hHi)(gHi)=(gHi)(hHi) <==> hHi está en Z(G/Hi) <==> dado que lo anterior es cierto para TODO  Hi+1, Hi+1/Hi está en Z(G/Hi). Q.E.D.

Ahora, es claro que si tenemos una serie (subnormal) como (**) , entonces podemos considerar los grupos cociente Hi+1/Hi, para i=2,...; dependiendo de la naturaleza de estos grupos cocientes, llamados factores de la serie, es que podemos considerar varios tipos de grupos sumamente importantes, pero antes recordemos que un grupo es llamado simple si no posee subgrupos normales no-triviales. Por ejemplo, todo grupo de orden p, p primo, es simple, aunque a veces estos grupos (que son los únicos grupos abelianos simples!) son considerados como "trivialmente simples"; el grupo alternante A_n  de todas las permutaciones pares sobre n objetos es simple para todo n natural distinto de 4, y de hecho A_5 es el primer grupo simple no abeliano, y es de orden 60.

i) Una serie como (**)  es llamada serie de composición si todos los factores Hi+1/Hi , i=2,...,  son grupos simples; es fácil ver, utilizando el teorema de la correspondencia, que:

Ejercicio: Una serie como (**) es de composición si y solo si Hi es un subgrupo normal maximal de Hi+1 para todo i=1,2,...

ii) Un grupo G es llamado soluble si posee una serie (subnormal) finita con todos sus factores abelianos. Por ejemplo, el  grupo de permutaciones S_3 es soluble, pues la serie  1
£A_3£S_3 es una serie cuyos factores son abelianos, pues: A_3/{1}~ A_3 es de orden 3 ==> abeliano, y S_3/A_3~C2 = el grupo cíclico de orden 2, también abeliano.

iii) Un grupo G es llamado nilpotente si posee una serie (finita) central.

Tenemos las siguientes series importantes para todo grupo G:

1) La serie derivada de G: empezamos por definir de forma recursiva: G0:=G, G':=[G,G] , G'':=(G')',..., G(k):=(G(k-1))'. Tenemos la siguiente:

Proposición 2: Un grupo  G  es soluble si y solo si para algún k natural,   G(k)={1}.

Demostración: Si G es soluble, entonces hay una serie (**) finita con factores abelianos. Mostraremos inductivamente que para todo i=1,...,n, G(i)£Hn-i; para i=1, tenemos que Hn/Hn-1=G/Hn-1 es abeliano <==> G'£H(n-1). supongamos para k (i.e., G(k)£Hn-k) y mostremos para k+1: como el factor Hn-k/Hn-k-1 es abeliano, entonces (Hn-k)'£Hn-k-1; la suposición inductiva nos da G(k+1)=(G(k))'£(Hn-k)'£Hn-k-1. Así, dado que 1=n-(n-1) y H1={1}, según lo anterior G(n-1)£Hn-n+1={1} ==> G(n-1)={1}. La implicación contraria es trivial, pues claramente la serie derivada es abeliana (y finita en este caso, pues G(k)={1})!  Q.E.D.

2) La serie central ascendente de G: definimos recursivamente los siguientes subgrupos: Z0:= {1}, Z1:= Z(G)=Z(G/{1}), Z2 es el único subgrupo de G tal que Z2/Z1=Z(G/Z1),...,Z(k+1) es el único subgrupo de G t.q. Z(k+1)/Zk=Z(G/Zk), y así obtenemos una serie NORMAL ascendente {1}=Z0£Z1£...£Zn£...

3) La serie central descendente de G: definimos recursivamente los siguientes subgrupos: G'=G , G2=[
G',G]=G', G3=[G2,G],...,Gk+1=[Gk,G],...

Ejercicio: Demuestra que efectivamente la series ascendente y descendente son series centrales (Pon atención al hecho que los factores de la descendente son del tipo Gi/Gi+1, pues la numeración de la serie es descendente!).

Dejamos como ejercicio no trivial las demostraciones de:

Lema 3: Si G es nilpotente de clase c, y si una serie como (**) es central entonces para todo k se cumple que  Gi+1
£Hi+1£Z(c-i).

Proposicion 4: Un grupo es nilpotente si y solo si existe algún numero natural c t.q. Zc=G
<==> existe algún numero natural d t.q. Gd+1 = {1}. En este ultimo caso, se cumple que c=d + 1 , y c es llamada la clase de nilpotencia de G.

El lema 3 nos dice que las series centrales ascendente y descendente son las series centrales mas grande y mas pequeña, respectivamente, de G, y la proposición 4 nos dice que la longitud de las series centrales ascendente y descendente es la misma.

Lema 5: Para un grupo G, siempre G(k)
£Gk+1 (esto es: el elemento k de la serie derivada esta contenido en el elemento k+1 de la serie central descendente).

Demostracion: Por inducción: para k=1, G(1)=G'=G2 y no hay mas que mostrar; supongamos que el lema es cierto para k-1, y mostremos para k:

(a) G(k):=(G(k-1))'£(Gk)' , pues H£K ==> H'£K', obviamente. Dado que la serie descendente {Gi} es central, tenemos que Gk/Gk+1 £ Z(G/Gk+1) ==> como claramente el centro de CUALQUIER grupo es abeliano, Gk/Gk+1 es abeliano <==> (Gk)'£Gk+1 -- pues sabemos que el cociente G/N es abeliano si y solo si G'£N  --; así pues, en (a) arriba obtenemos: G(k)£(Gk)'£Gk+1 ==> G(k)£Gk+1 . Q.E.D.

Corolario 6: Si  G  es nilpotente entonces  G  es soluble.

Demostracion: La prop. 4 nos indica que Gc+1={1} para algún natural c, y el lema 5 nos dice que G(c)£Gc+1={1} ==> G(c) = 1 ==> la serie derivada de G es finita y, claro esta, sus factores son abelianos ==> G es soluble.  Q.E.D.

Como se mostró arriba, S_3 es soluble; sin embargo, dado que Z(S_3)={1} (y por lo tanto su serie central ascendente se "estanca" o no "sube" inmediatamente), S_3 no puede ser nilpotente, y este es el ejemplo mas sencillo de grupo que es soluble pero no nilpotente.

Concentremos ahora nuestra atención en las series de composición:

Definicion: Dos series {Hi}, {Kj} correspondientes a un grupo G son equivalentes si existe una biyección  {Hi} <--> {Kj} tal que los correspondientes factores de ambas series son grupos isomorfos.

Ejemplo: Sea G=C_30={1,c,c2,....,c29} el grupo cíclico de orden 30. Sean:

(a) 1£<c10>£<c5>£C_30

(b) 1
£<c6>£<c2>£C_30

Claramente las dos series anteriores son totalmente distintas, pero:

  • Los factores de (a) son <c10>/{1}~<c10>~ C_3 = el grupo cíclico de orden 3 ; <c5><c10>~ C_2 = el grupo cíclico de orden 2 y; C_30/<c5>~ C_6 =  el grupo cíclico de orden 6

  • Los factores de (b) son  <c6>/{1}~ C_6 ; <c2>/<c6>~ C_3 ; C_30/<c2> ~ C_2.

Es fácil, pues, ver que los factores de ambas series son isomorfos ==> las dos series son equivalentes.

Ahora, por medio del lema de Zassenhaus (llamado algunas veces teorema mariposa por el sugestivo diagrama que ayuda a aclarar la demostración) y del teorema de refinamiento de Schreier, obtenemos el muy importante:

Teorema Jordan-Holder: Cualquier dos series de composición de un grupo G son equivalentes.

Podemos ahora hablar del teorema fundamental de la aritmética: cualquier numero natural n es o primo o el producto de números primos, y este producto es único salvo el orden de los factores. 

En realidad, lo verdaderamente importante y trascendente del teorema es la unicidad del producto, esto es: el hecho que el producto de primos que iguala a n depende tan solo de n, pues por definición si n no es primo entonces es compuesto ==> n=a1*b1, con a1, b1 divisores no triviales (i.e., distintos de 1 y de n mismo) de n; si a1 o b1 no son primos volvemos a aplicar para ellos lo anterior; dado que n es un número finito (esto es un pleonasmo, pero ayuda  aclarar las cosas!), es posible llegar al producto de primos para n después de un número finito de pasos  (lo que a veces se llama inducción inversa); sin embargo, la unicidad requiere de alguna argumentación algo más elaborada, y desde el punto de vista de teoría de grupos podemos hacer:

Sea n=pi*pi*...*pk , en donde pi,...,pk son primos (no necesariamente distintos); tomemos el grupo G=C_n={1,c,...,cn-1 }, el grupo cíclico de orden n, y tomemos la siguiente serie descendente (notamos de paso que la condición de normalidad se da automáticamente aquí por ser G abeliano):

G = <c>³<cp1>³<cp1*p2>³...³<cp1*...*p(k-1)>³{1}

Para cualquier  j=1,...,k-1, el factor <cp1*...*p(j-1)>/<cp1*...*pj>es isomorfo, claro esta, al grupo cíclico  C_pj  de orden (primo!!) pj ==> los factores de la anterior serie son grupos simples ==> la serie anterior es serie de composición para G ==> cualquier otra serie de composición de G (y en lenguaje aritmético: cualquier otra descomposición de n como producto de números primos) es equivalente a la anterior serie, según el teorema J-H  ==> los factores de ambas series serán isomorfos (y en lenguaje aritmético: los números primos p1,...,pk que aparecen en cualquier descomposición prima de n son exactamente los mismos), y esto demuestra el teorema fundamental de la aritmética. 

El anterior es tan solo un ejemplo de utilización de teoría de grupos en algún otro terreno de las matemáticas. Existen incontables casos, entre ellos algunos tan sorprendentes como el hecho que la naturaleza de un grupo influye de manera decisiva y determinante en la solubilidad o insolubilidad por radicales de alguna ecuación racional (de aquí el nombre de grupo soluble que fue definido arriba), y de aquí se desprenden conclusiones tan increíbles como el que la ecuación general quíntica no tiene formula general para sus raíces por medio de operaciones radicales sobre sus coeficientes; dicha formula si existe para las ecuaciones cuadradas, cúbicas y cuarticas. Pero esto ya seria materia para otro articulo entero.

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Astronomía

Impactos: La Gran Explosión está por llegar

Víctor R.
Ruiz

ARP
Sociedad
 para el
Avance
del
 Pensamiento
Crítico.
Liga
Iberoamericana
de
Astronomía.

Miles de pequeños asteroides y cometas del Sistema Solar tienen trayectorias que cruzan la órbita terrestre. Sólo es cuestión de tiempo que alguna de estas rocas estelares ponga de nuevo en peligro la vida en nuestro planeta.

1. La verdad está ahí afuera.

El 9 de diciembre de 1997 los habitantes de la desértica Groenlandia se vieron sorprendidos por la caída de un meteorito. Este evento fue registrado por detectores sísmicos, satélites meteorológicos, por habitantes de la parte oeste de la isla, un pescador en la costa y una video cámara en Nuuk. Los detectores de terremotos grabaron un seísmo que se prolongó durante más de 10 segundos. Por su parte, la videocámara de Nuuk (capital de Groenlandia) grabó un gran flash durante dos segundos proveniente de una fuente luminosa en movimiento. Por suerte, este impacto no causó ningún daño, ni personal ni material, aún calculándose que el meteorito debía pesar 4 mil toneladas.

Menos suerte tuvieron los habitantes de la igualmente desértica Siberia. El 30 de junio de 1908, en la región de Tunguska, una bola de fuego arrasó con 2150 kilómetros cuadrados. Los árboles cayeron de forma radial, señalando el epicentro del estallido. Varias poblaciones quedaron calcinadas y el resto arrasadas. El aire era tan caliente que incendiaba la ropa instantáneamente. Pero además, esta explosión, comparable a 2000 bombas de Hiroshima, se hizo sentir a muchos miles de kilómetros, por todo el planeta. Nubes resplandecientes de pequeñas motas de hielo, recubiertas de polvo, iluminaron las siguientes noches en el Este de Siberia y Asia Central. Incluso los astrónomos de Estados Unidos vieron cómo la transparencia del cielo nocturno decaía.

El caso de Tunguska ha sido el más importante caso de hecatombe "celestial" registrado en la historia reciente, pero probablemente no haya sido el único y mucho menos el último. El cráter de Chixulub, en el Golfo de México, es el lugar donde los científicos creen que descansan los restos del asteroide que precipitó la desaparición, hace 65 millones de años, de miles de especies, entre ellas los dinosaurios. Además, los satélites espías en órbita a la Tierra registran frecuentemente detonaciones de origen natural en la atmósfera con una energía de miles de toneladas de TNT.

2. Objetos cercanos.

En la actualidad se tienen catalogados con precisión casi diez mil asteroides y varios cientos de cometas, aunque hay muchos más que no se han observado durante el tiempo suficiente como para poder estimar su órbita. La probabilidad anual de que alguno llegue a impactar con la Tierra no es alta, pero sus consecuencias serían tan catastróficas que no huelga ignorar el riesgo de colisión.

Los asteroides son rocas que en su mayor parte se concentran en el Cinturón de asteroides, una zona demarcada por la acción gravitatoria de Júpiter y Marte. El más grande de los asteroides conocidos en Ceres, con 1000 kilómetros de diámetro, tan solo un tercio más pequeño que la Luna.

Los astrónomos clasifican a aquellos asteroides que se internan en la órbita de la Tierra como "Apolos", en honor al primer ejemplar de esta categoría. Vistos con telescopio, son pequeños puntos luminosos, al igual que las estrellas. Al ser rocas, los asteroides no reflejan mucha luz y son difíciles de observar. Tal es así, que el asteroide denominado 1994 XM1, fue descubierto doce horas antes de pasar... ¡a un tercio de la distancia que nos separa de la Luna! Esta vez nos salvamos por los pelos.

Los cometas, al contrario, no son cuerpos sólidos. Son objetos más parecidos a una bola de nieve sucia, que evapora su material cuando se acerca al Sol. El Sistema Solar está rodeado de cometas, la Nube de Oort, a una distancia de 1 año luz. Otra región muy poblada de estos cubitos de hielo siderales es el Cinturón de Kuiper, situado más allá de la órbita de Neptuno. Los cometas, pues, proceden de las profundidades de nuestro Sistema Solar y hasta hace muy poco la tecnología no permitía detectarlos a menos que se encontrasen a una distancia similar a la de Saturno.

Aun sabiendo que en su mayor parte son agua, no hay que desdeñar la capacidad destructiva de los cometas. En julio de 1994, los trozos del cometa Shoemaker-Levy 9 cayeron en la superficie de Júpiter. Las sensibles cámaras electrónicas del telescopio IAC-80 (del Observatorio del Teide) quedaron saturadas por el brillo del primer impacto. Horas después, los astrónomos pudieron observar cómo en la zona del impacto había aparecido una gran nube oscura de varios miles de kilómetros de longitud. La cara del dios del Olimpo, Júpiter, quedó marcada durante semanas por un minúsculo cometa, el cual había capturado y troceado durante los años 70. ¿Qué hubiera pasado si la víctima de este choque hubiese sido la Tierra?

En realidad, la Tierra y el resto de planetas y satélites del Sistema Solar ha sido objetivo continuo de impactos. La superficie de nuestro satélite natural es una muestra de lo que ha estado ocurriendo desde la formación del Sistema Solar. La Luna, una esfera de 3000 kilómetros de diámetro, está totalmente caracterizada, algo que podemos comprobar fácilmente con un pequeño telescopio. En la Luna no hay atmósfera y tampoco tectónica de placas. Estos agentes erosionantes, que no actúan en la superficie lunar, se han encargado de borrar las huellas de la mayoría de los impactos que se han producido en la superficie terrestre. Las excepciones están contadas y son 150 cráteres en todo el mundo, cuya muestra más conocida es el de Arizona, de 3 kilómetros de longitud.

3. Vigilancia espacial.

El caso de Tunguska, Chicxulub, Júpiter y el comprometedor acercamiento del asteroide 1989FC a la Tierra alertaron en un principio a políticos y científicos del peligro de impacto. En 1991, el Comité de Ciencia y Tecnología de la Casa Blanca estadounidense pidió a la NASA que organizase dos grupos de trabajo. El primero trataría de definir un proyecto para incrementar la detección y catalogación de asteroides cuyas órbitas cruzan la Tierra. El otro grupo estaría dedicado a conocer qué sistemas y tecnologías habría que utilizar para desviar de su trayectoria un asteroide, o llegado el caso, destruirlo. Los resultados de estos estudios desembocaron en una resolución del Comité, tres años más tarde, en el que se pedía a la NASA que en colaboración con el Departamento de Defensa y otras instituciones internacionales, identificaran antes del año 2014 a todos los asteroides y cometas cuyo diámetro fuese mayor de 1 Km y cruzasen la órbita de la Tierra. Sin embargo, ninguno de los proyectos ha sido definitivamente aprobado por el Congreso.

En vista de la desidia política, los astrónomos han tomado la iniciativa y han puesto en marcha algunos programas de presupuestos reducidos. El Near Earth Asteroid Tracking (NEAT, Seguimiento de asteroides cercanos), es un proyecto auspiciado por el Laboratorio de Propulsión a Chorro (JPL) para la catalogación y vigilancia de las órbitas de los asteroides que más se acercan a nuestro planeta. NEAT ha sido el primer proyecto totalmente automatizado, desde la observación hasta el seguimiento de nuevos objetos, pero trabaja sólo 3 noches al mes. El proyecto Spacewatch, subvencionado por la Universidad de Arizona (EE.UU.), trabaja 20 días al mes con un telescopio en el observatorio de Kitt Peak. Sin embargo, otros proyectos han tenido menos suerte, como el Spaceguard de Australia, que tras un par de años de funcionamiento, el gobierno australiano no le renovó la partida presupuestaria.

Otro proyecto de seguimiento de cometas y asteroides es el The All Sky Survey. Tom Droege, un ingeniero del Laboratorio Nacional de Argonne, tras el impacto del cometa Shoemaker-Levy 9 quedó sorprendido por la poca atención que los astrónomos, tanto profesionales como aficionados, prestaban a la vigilancia espacial. Ni corto ni perezoso, construyó un sistema con 3 cámaras electrónicas trabajando en paralelo, que distribuidos por todo el mundo realizarían una observación ininterrumpida de todo el cielo. Este sistema lo distribuyó entre quienes tuvieran oportunidad de utilizarlo. Actualmente hay más gente involucrada y están construyendo una versión mejorada para detectar objetos más débiles. Una buena parte del esfuerzo está consistiendo en desarrollar programas informáticos que manejen la ingente cantidad de datos que se generará diariamente.

De forma aún más modesta, muchos astrónomos aficionados utilizan el tiempo libre para realizar seguimiento de cometas y asteroides. Mediante sus telescopios y cámaras electrónicas registran la posición de estos objetos del Sistema Solar. El Centro de Planetas Menores de la Unión Astronómica Internacional, con dichos datos, determina con precisión sus órbitas y trayectorias. En España el grupo más volcado a esta tarea es el Observatorio Astronómico de Mallorca (OAM). Enclavados en Costix, el observatorio tiene varios pequeños telescopios. Este grupo de astrónomos, pertenecientes a la Sociedad de Cometas y Meteoros de España, lograron descubrir cuatro nuevos asteroides durante 1997. Por si fuera poco, el OAM realizó una de las campañas de observación más completas sobre el Hale-Bopp a nivel mundial.

Desde los grandes observatorios profesionales, como los del Instituto de Astrofísicas de Canarias (IAC), también se han descubierto varios asteroides. Sin embargo, el carácter altamente competitivo a nivel científico de estas instalaciones y a sus limitados presupuestos, les ha impedido por ahora dedicar parte de sus recursos a observaciones comunes de cometas y asteroides.

4. Investigaciones.

El interés de los científicos por conocer más a nuestros asiduos visitantes, y las catástrofes que pueden ocasionarnos, es hoy por hoy alta.

Las agencias espaciales están apostando claramente por la visita a cometas y asteroides. La primera misión en la que un ingenio terrestre fotografió de cerca un cuerpo menor del Sistema Solar fue en 1986 cuando la sonda Giotto de la ESA captó las únicas imágenes que todavía se tienen de un núcleo de cometa, en aquella ocasión del Halley. Ya en 1993, la sonda Galileo de la NASA pasó a pocos kilómetros del asteroide Gaspra y años más tarde sobrevoló Ida. Por primera vez pudimos ver mediante imágenes cómo eran los asteroides. La Galileo actualmente orbita Júpiter y estudia su sistema de satélites.

En 1997 comenzó una larga lista de misiones cuyo objetivo principal era, al menos, entrar en órbita alrededor de un cuerpo menor. Sondas como la NEAR, Rosetta, Stardust, Countour, Deep Space 1 y Muses-C se encargarán de inspeccionar concienzudamente asteroides y cometas. Incluso, alguna de estas misiones van más allá y se espera que recojan muestras de la superficie y las envíen a la Tierra para su análisis. Rosetta es una misión calificada de prioritaria para la Agencia Espacial Europea (ESA). Esta sonda, que se lanzará en el 2003 a bordo de un cohete Ariane, irá al encuentro del cometa Wirtanen cuya órbita tiene un periodo de 6 años. La ESA quiere conocer la evolución del cometa según se acerca al Sol.

Estas misiones van a ser de gran interés científico al ofrecer información sobre la composición exacta de los asteroides y cometa, que ayudarán a concretar las acciones necesarias si alguna vez tuviéramos que tratar de destruirlos. Ya la NEAR, cuyo destino es Eros, nos ofreció datos sobre el asteroide Mathilde tras su sobrevuelo en julio de 1997. Los científicos de la misión han calculado que al menos el 50% del volumen de esta roca espacial está hueca, quizás al ser muy  porosa.

Las simulaciones realizadas por científicos de las consecuencias de un impacto no son muy estimulantes y es que la colisión de un asteroide con más de 1 kilómetro de diámetro supondría una catástrofe mucho mayor a la peor de las guerras nucleares. La liberación de millones de megatones sólo sería el comienzo de una lenta agonía para los supervivientes a la explosión. Si el cometa o asteroide cayese en el mar, las olas arrasarían kilómetros de costa hacia adentro. Las grandes cantidades de polvo emitidas cubrirían un velo sobre la atmósfera e impedirían el paso de la luz solar, descendiendo de forma inmediata la temperatura global y acabando con la cadena de alimentación basada en vida fotosintética. No sería el final de la vida en la Tierra, pues en las fosas abisales y en pequeñas cuevas herméticas existen organismos capaces de sobrevivir sin necesitar luz: una nueva oportunidad para el desarrollo de otro tipo de seres inteligentes. Estas son algunas de las conclusiones a las que Carl Sagan, junto a otros especialistas, llegó con su estudio sobre el «invierno nuclear».

5. Defensa espacial.

¿Estamos preparados para defendernos? Tecnológicamente, sí. Poseemos una flota de sondas interplanetarias que están husmeando a control remoto todo el Sistema Solar. Nuestro problema radica en  poder predecir con suficiente antelación el posible impacto, para interceptar al objeto y desviarlo de su trayectoria original. Cuanto más cerca esté de la Tierra, más energía habría que utilizar y por tanto menos posibilidades de éxito.

Descubiertas las intenciones a grandes distancias, cabría la posibilidad de hacer detonaciones nucleares enviando sondas con cabezas atómicas. Curiosamente, hace unos años China trató de saltarse el tratado internacional de no proliferación de armas nucleares argumentando que estaban investigando en la defensa contra impactos. Otras propuestas para modificar las órbitas son más exóticas. Proponen la utilización de grandes velas que utilizarían el viento solar para arrastrar al objeto en otra dirección. El que el objeto se acercase a la Tierra demasiado, implica, además que se tendría que trabajar en contra de la aceleración que nuestro planeta aplicaría.

6. ¿Por qué no?

Aunque hay quien dice que antes de buscar vida inteligente en otros planetas deberíamos empezar buscándola en la Tierra, los humanos hemos desarrollado una civilización altamente tecnológica y capaz de dar el salto en unos decenios a la conquista del Sistema Solar. Desaparecida la amenaza de una guerra entre las superpotencias de los años 80, entramos en un milenio fascinante donde la globalización de la comunicación y la economía serán los grandes protagonistas. 

¿Qué nuevos inventos nos esperan? ¿Qué descubrimientos maravillarán a nuestros descendientes? Si no prestamos un poco de atención a lo que ocurre encima de nuestras cabezas, quizás nos llevemos una sorpresa... cuando sea demasiado tarde. Es cuestión de tiempo.

7. Otros.

Eugene M. Shoemaker. Geólogo de profesión, Shoemaker labró su vida alrededor de los cráteres de impacto. Fascinado por los cráteres lunares, fracasó en su intento por convertirse en uno de los astronautas en pisar la Luna. Sin embargo, actuó de científico de la misión y ayudó a los astronautas en la investigación de la superficie lunar. Descubrió, junto a su esposa Carolyn, más de 32 cometas, el más famoso el Shoemaker-Levy 9. Fue uno de los principales impulsores, junto a Eleanor Helin, del programa de Vigilancia Espacial propuesto al Congreso norteamericano. Irónicamente, murió en julio de 1997 en una colisión automovilística.

Azuara. Según investigaciones recientes de Michael R. Rampino, planetólogo de la NASA, en esta localidad de Zaragoza hace 35 millones de años un asteroide o cometa impactó produciendo un cráter de 36 Km de diámetro. El cometa, o asteroide, medía dos kilómetros de longitud y viajaba a una velocidad de entre 20 y 60 Km por segundo. Este impacto habría sido el culpable de la desaparición y de la extinción de muchos pequeños animales que poblaban Europa por ese entonces, además de contribuir a un descenso de las temperaturas en todo el planeta. Marc Aurell, de la Universidad de Zaragoza, defiende que la morfología de Azuara puede tener otras explicaciones menos catastrofistas y descarta la hipótesis del impacto.

Alerta: Swift-Tuttle. El material lanzado al espacio por este cometa es el responsable de la lluvia de estrellas fugaces conocidas por Perséidas. Con un periodo de 133 años, es el objeto cercano a la Tierra más grande, con 8 kilómetros de diámetro. El responsable de la Oficina de Telegramas de la Unión Astronómica Internacional, Brian G. Marsden, calculó que en su próximo regreso a la Tierra en el 2126 este cometa va a ser impresionante, aunque quizás demasiado impresionante. La posibilidad está ahí, pero Brian Marsden es cauto ya que los chorros que lanzan los cometas cambian de manera apreciable su órbita.

La otra cara de la moneda. Los objetos cercanos a la Tierra no sólo pueden constituir una amenaza para la vida en la Tierra, sino también para el mercado del oro. Con el abaratamiento de los lanzamientos, empresas estadounidenses como Lunacorp y Harvest Moon, Inc. están trabajando en misiones de minería espacial. Aprovecharían la cercanía de los asteroides para obtener de ellos raros metales en la superficie terrestre como son el oro, platino, paladio, iridio, osmio, rubidio y rodenio. Pequeños robots se encargarían de las labores de extracción para su posterior envío a nuestro planeta. Prepárense para una nueva fiebre del oro... espacial.

¡Oh, cielos! Últimamente existe un boom de películas catastróficas y también de ciencia ficción. Estos dos géneros han sido combinados en dos películas: Deep Impact y Armageddon. Deep Impact está protagonizada por Robert Duvall y Morgan Freeman, y entre los títulos de crédito se puede leer a Arthur C. Clarke por su novela "El martillo de Dios". Los efectos especiales corrieron a cargo de IL&M, de George Lucas, quienes dieron vida al asteroide en ruta de colisión con nuestro planeta. Por su parte Armageddon cuenta entre sus papeles principales con Bruce Willis y Liv Tyler, quienes se las tienen que ver y desear para tratar de destruir a un cometa dispuesto a arrasar la vida en la Tierra.

8. Bibliografía.

  • Páginas web del NEAT, Spacewatch, NEAR, JPL y ESA.
  • "Digging for Gold", Jeffrey S. Kargel. Astronomy, diciembre 1997.
  • "El impacto de Azuara y sus efectos", Michael R. Rampino, Universo nº 29.
  • "Impactos al descubierto", J. Kelly Beatty. Cosmos, abril 1994.
  • "¿Amenaza el cometa Swift-Tuttle a la Tierra?", Brian G. Marsden. Cosmos, abril 1993.
  • "Viaje a Tunguska", Roy A. Gallant. Cosmos, agosto 1994.
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Articulo

Acerca de la deducción, inducción e inducción matemática

Ricardo
Oliveros
Ramos

Podríamos comenzar dando la clásica definición entre la antitesis de deducción e inducción, considerando a la primera como el paso "de lo general a lo particular" y a la segunda como el paso "de lo particular a lo general". En estos términos, podríamos ver una clara diferencia entre ambos conceptos, lo suficientemente clara como para reconocer un proceso deductivo de uno inductivo con facilidad.

En las ciencias fácticas, el método inductivo adquiere una vital importancia. Por lo general, un investigador experimental tiene acceso a un limitado número de observaciones, en las cuales (con un poco de suerte) se pueden encontrar características o propiedades comunes a una determinada clase de elementos, con lo cual, se podría concluir que estas pertenecen a todos los elementos de dicha clase. El método inductivo es en sí "poco seguro", pues es suficiente una sola observación que contradiga las conclusiones obtenidas para refutarlas indefectiblemente. Considerándolo de esta manera "las excepciones no confirman la regla", y en el mejor de los casos, pueden restringir el alcance de las conclusiones obtenidas. Normalmente, las teorías en las ciencias fácticas requieren de un gran soporte experimental que las corrobore, y son muy pocas las que llegan a adquirir el status de "ley natural".

El método deductivo, como procedimiento "infalible" esta inherentemente ligado a las ciencias formales, y de entre estas, a la matemática por excelencia.

Podríamos afirmar que las proposiciones matemáticas se demuestran siempre deductivamente. En matemáticas, se trabaja a partir de demostraciones en sistemas de axiomas, y ningún resultado matemático puede ser considerado válido si no ha sido deducido desde los axiomas de partida.

Veamos ahora el método de inducción matemática. En particular, la demostración por inducción matemática consta de dos partes. La primera consiste en probar que una determinada proposición se cumple para un determinado número natural. La segunda, en asumir que esta proposición se cumple para un número natural n y probar su validez para n+1. De esta manera probamos la validez de esta proposición para todo número natural. A primera vista, hemos efectuado una demostración inductiva, partiendo de un par de casos particulares y llegando a una conclusión general.

En este punto, convendría precisar un poco mas en la definición de deducción. Veamos primero que no es exacto definir a la deducción como el paso "de lo general a lo particular" pues podemos efectuar una deducción basándonos exclusivamente en proposiciones generales, por ejemplo en los silogismos categóricos de los modos Barbara, Celarent y Cesare. De la misma manera, podemos deducir la falsedad de una proposición general a partir de la falsedad de una sola de las proposiciones particulares correspondientes. En las proposiciones lógicas elementales, en las cuales no hay ningún tipo de particularidad, podemos deducir a partir de una serie de ellas, una conclusión que es una consecuencia necesaria en virtud de las reglas lógicas.

Volviendo a la inducción, el problema del método inductivo se deriva del hecho de que aunque muchos elementos de una clase compartan una propiedad en particular no se desprende necesariamente que la compartan todos los elementos de dicha clase. En este sentido, el método de inducción matemática no nos brindaría la seguridad de que las conclusiones obtenidas sean ciertas para todos los casos.

La respuesta esta en que el método de inducción matemática es un método eminentemente deductivo. Para el caso de los números naturales, al demostrar la validez de una proposición para el número 1, asumir la validez de esta para un número natural genérico y demostrar la validez para su sucesor, estamos demostrando la validez de la proposición para todos los números naturales, tal como lo explicita el quinto axioma de Peano.

En general, la inducción matemática consiste en demostrar deductivamente la validez de una proposición para un elemento de una clase y luego en virtud de una implicación rigurosa demostrar la validez de la proposición para los demás elementos de dicha clase, sean finitos o no.

De esta manera, la inducción matemática contempla todos los casos permitidos, siendo entonces una inducción perfecta y completa, y por lo tanto una deducción en todo el sentido de la palabra.

Finalmente, seria más adecuado referirnos simplemente al método deductivo de inducción matemática y darle a la expresión la precisión a la que las matemáticas nos tienen acostumbrados.

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Eventos

 

 

- Del 2 al 7 de Julio. L'ensenyament de l'Estadística a l'ESO i el Batxillerat. Universitat de Girona
Professorat: Carmen Batanero, Universitat de Granada
Antoni Gomà, IES "Joanot Martorell",Esplugues
Carles Barceló, Universitat de Girona

Para más información:  http://ima.udg.es/~cls/aa/cls_aa.html

- Del 2 al 4 de Julio. IX Encuentros Geometría Computacional, Institut d'Informàtica i Aplicacions. Universitat de Girona

Para más información:  http://iiia.udg.es/9egc

- Del 2 al 6 de Julio. Progress in Non Linear Science.University of Nizhny Novgorod.

Para más información:  http://www.nonlinear.sci-nnov.ru

- Del 27 al 31 de Agosto. 8th International Conference On Differential Geometry and Its Applications. Opava, Czech Republic

Para más información: http://8icdga.math.slu.cz/


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Matemáticos

 

José Alfredo
Cañizo
Rincón

Cómo Jugar a Sherlock Holmes. Enunciado

Hace poco he tenido que ir a renovarme el carnet de identidad, que llevaba ya un par de meses caducado. Es una de esas cosas que tiene uno que hacer tarde o temprano, así que el otro día iba yo todo dispuesto a plantar allí la huella de mi pulgar y marcharme hasta que me encontré en la comisaría con una cola de unas quince personas, todas ellas esperando a renovar su carnet o hacerse el pasaporte. Una verdadera pesadez. En fin, paciencia.

Delante de mí iba una mujer con un bolso naranja que aparentemente se aburría tanto o más que yo, así que empezamos a quejarnos por pasar el rato:

  • Yo no sé por qué no pueden poner a más gente, si ven que ahora antes de las vacaciones todo el mundo quiere renovarse el carnet. Hacernos esperar aquí, con este calor... - Decía ella.

  • Desde luego, desde luego - contesté yo - , porque yo me tengo que ir y podían darse un poco de prisa. Claro que hay que entenderlos, todo el día rellenando lo mismo... - Dije eso porque tampoco me gusta meterles mucha prisa, a los pobres.

  • Pues por eso mismo. Si llevan todo el día así, podían tener ya un poco más de práctica, ¿no?. Que yo me tengo que ir esta tarde a Chiclana con mi hermana y todavía no tengo ni las maletas hechas, ¿sabes? - Al decirlo, me fijé en que tenía acento de Cádiz y le pregunté por eso - ¡Sí, en mi familia somos todos de Cádiz! Yo estuve allí hasta los catorce años y luego me vine a Granada, y mi hermana se fue a Málaga. Desde entonces alternamos las visitas cada tres años: uno me voy yo a Málaga, otro la invito yo aquí a mi casa, y el tercero nos vamos las dos a Chiclana a ver a mis padres. Hemos hecho eso desde que nos fuimos de Cádiz; recuerdo el verano que pasamos con mis padres cuando yo tenía diecisiete años... Me encanta esa playa... - En ese momento pareció acordarse de la cola, y dijo - ¡A ver si terminan ya y puedo irme de una vez!

Sólo quedaban tres personas delante de nosotros; tres o cuatro minutos más.

  • ¿Sabes? Cuando tenía dieciocho años me hice el carnet de identidad. Desde entonces lo he renovado puntualmente cada cinco años, como debe ser, y nunca he tenido que esperar tanto. Hoy todo el mundo se ha puesto de acuerdo para venir, ¿eh?. 

  • Sí, eso parece.    

Estuvimos esperando un poco más y cuando sólo quedaba una persona delante de nosotros nos dieron el impreso para poner nuestros datos ("rellenen esto, y firmen aquí, aquí y aquí"). Mientras escribíamos, vi casualmente que la mujer con la que había estado hablando se llamaba Amparo y que había nacido un 29 de Febrero. "Vaya, curioso día", pensé. Terminamos, entregamos los impresos y las fotos, pusimos la huella donde correspondía y nos limpiamos con una toallita que nos dieron. Le dije a la mujer que hasta luego, le deseé que se lo pasara bien en la playa con su hermana y me quedé pensando mientras me iba a casa que verdaderamente, Amparo parecía mucho más joven de lo que en realidad era.

¿Cuántos años tenía Amparo?       

Podéis enviar las soluciones a:  José Alfredo Cañizo Rincón

La solución aparecerá en el próximo número.

El Recorrido de las Damas. Solución

Carlos Segura envía esta respuesta:

Para solucionar esto, creo que se debe aplicar un triangulo de Pascal, aunque algo modificado. Así, lo que hice es que, trazando las diagonales a  partir del punto que tomo (siempre en el mismo sentido), miro a ver cuándo llega al final del tablero (por un lado). Tomemos que llegamos en la fila 5 (contada desde arriba), por el lado derecho y en la 4 por el izquierdo, entonces aplico el triángulo de Pascal, pero a partir de la fila 4 por la izquierda (contando desde arriba) lo corto (no pongo más 1) y a partir de la 5, por la derecha hago lo mismo. Mirando el dibujo de un tablero, voy viendo qué números se ponen y cuáles no (se ponen aquellos a los que puede llegar la  ficha). Así que tendríamos:

            1
        1     1
    1      2     1
 1     3     3     1
    4      6     4    1
  4    10   10    5
    14    20   15   5
  14   34   35   20

(Llamaremos H-2, H-4, H-6, H-8 a las casillas negras de la parte superior del tablero, empezando a contar por la izquierda; A-1, A-3, A-5, A-7 a las de la parte inferior).

Hacemos esto, cortando siempre por los lados (teniendo en cuenta que el máximo de números por fila es cuatro) y en este caso, que es empezando en H-4, tenemos que las formas distintas de llegar a A-1 son 14, a A-3 son 34, A-5: 35, A-7: 20  (En total, 103 posibles caminos distintos).

Aplicando lo mismo para H-6, tenemos las posibilidades:

A-1: 6;   A-3: 21;   A-5: 34;   A-7: 28;     (Que dan un total de 89)

Partiendo desde H-8, tenemos que:

A-1: 1;   A-3: 6;     A-5: 14;   A-7: 14       (En total, 35)

Partiendo desde H-2, tenemos que:

A-1: 14;  A-3: 28;  A-5: 20;   A-7: 7          (69 en total)  

Como vemos la que más caminos tiene para llegar a ella, desde una posición de arriba, es cuando se va desde H-4 hasta A-5, habiendo 35 caminos posibles.

Fernando Charro Caballero también envió una respuesta correcta. En cuanto a la pregunta sobre las propiedades del triángulo de Pascal, la verdad es que no se han recibido muchas. Ana Sánchez, de la Universidad Autónoma de Madrid (España), explica el curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares. Si habéis visto alguna vez el triángulo de Sierpinski, un conocido conjunto fractal, veréis el parecido. Yo añadiré que lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta. Como muestra, ¿podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta? ¿Podéis encontrar en alguna parte del triángulo la sucesión de Fibonacci (que se forma sumando los dos términos previos para obtener el siguiente: 1,1,2,3,5,8,13...) ?

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El Debate

El Proyecto de Ley de Reforma de la Universidad.

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"Boletín Matemático para Mentes Inquietas (BMMI)"
El Paraíso de las Matemáticas (c) 2001


Editan
  Carlos Gombau
 
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José Alfredo Cañizo
   Ricardo Oliveros
    
Agradecimientos a
  Antonio Luis Martínez
 
José Antonio Pérez
 
José Heber Nieto
  Víctor R. Ruiz

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